Jacobimatrix Kugelkoordinaten

12.05.2008, 18:07	Irrstern	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobimatrix Kugelkoordinaten ich hab die funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=(-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}) \end{eqnarray}$ und die Funktion $\begin{eqnarray} \Phi(r,\phi)=(rcos(\phi), rsin(\phi)) \end{eqnarray}$ . nun soll ich die komposition $\begin{eqnarray} f \circ \Phi \end{eqnarray}$ berechnen. Wie stell ich das denn an? wie soll ich die komposition berechnen wenn die beiden funktionen von unterschiedlichen variablen abhängen? muss ich mein x und y der funktion f in r und phi umrechnen? also so r²=x²+y² und $\begin{eqnarray} \phi=tan^{-1}(\frac{y}{x}) \end{eqnarray}$ ???
12.05.2008, 18:16	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du setzt einfach ein. Machen wir mal ein Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(\varphi)=\sin(\varphi) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sin(x))=(\sin(x))^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=\sin(x^2) \end{eqnarray}$ . Beachte bei dir lediglich dass du in zwei Komponenten einsetzen musst...
12.05.2008, 18:20	Irrstern	Auf diesen Beitrag antworten »
r und phi sind von x und y so wie ich oben in meinem beitrag im nachhinein noch eingefügt hab abhängig?
12.05.2008, 18:26	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und? Du sollst die Komposition aufschreiben und das bedeutet man wendet zuerst $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ auf irgendwelche zulässigen $\begin{eqnarray} (r,\phi) \end{eqnarray}$ an und danach wendet man $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf das Tupel $\begin{eqnarray} \Phi(r,\phi)=(x,y) \end{eqnarray}$ an.
12.05.2008, 19:32	Irrstern	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hab ich verstanden, das was ich eben geschrieben hab ist überflüssig und falsch. ich hab jetzt $\begin{eqnarray} f \circ \Phi (r,\phi),D(f \circ \Phi (r,\phi)),D(f(x,y)),D(\Phi(r,\phi)) \end{eqnarray}$ und soll nun die gülitgkeit der kettenregel zeigen. innere ableitung,also f multipliziert mit der äußeren ableitung Phi. wie ich nun aber mit meinen matrizen multiplizieren soll verstehe ich nicht ganz, hab wohl ein brett vor dem kopf. $\begin{eqnarray} D(f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}& \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{2/3}} - \frac{1}{(x^2+y^2)^{1/2}}\\ \frac{1}{(x^2+y^2)^{1/2}}-\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}& -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{2/3}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D(\Phi(r,\phi))=\begin{pmatrix}cos(\phi)&-r sin(\phi)\\ sin(\phi) & r cos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die beiden matrizen kann ich ja nicht multiplizieren. denke mal ich muss Phi in f wieder einsetzen. aber warum???
12.05.2008, 20:07	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das nicht nachgerechnet ob du alles richtig abgeleitet hast... Wieso kannst du die Matrizen nicht multiplizieren? Beides sind quadratische Matrizen.
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12.05.2008, 20:42	Irrstern	Auf diesen Beitrag antworten »
das sieht aber schrecklich aus und ich komme mit sicherheit nicht auf diese matrix: $\begin{eqnarray} D(f \circ \Phi(r,\phi))=\begin{pmatrix}0&-cos \phi\\0& -sin \phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich soll zeigen das $\begin{eqnarray} D(f \circ \Phi(r,\phi))=D(f(x,y))D(\Phi(r,\phi)) \end{eqnarray*}$ gilt, also die gülitgkeit der kettenregel. irgendwas muss ich falsch gemacht haben, nur was??
13.05.2008, 14:19	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten Matrix muss es aber $\begin{eqnarray} D(f(\Phi(r,\phi))) \end{eqnarray}$ heissen, also die Komposition.

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