Widerspruch

12.05.2008, 18:19

Vieta

Widerspruch

Ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} r^2=4 \end{eqnarray*}$ eine rationale Lösung hat.

Ich habe das jetzt so angesetzt. Angenommen es gäbe die Löung $\begin{eqnarray*} r=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ }, wobei der Bruch p/q nicht vollständig gekürzt sei.
Einsetzen liefert: $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2}=4 \end{eqnarray*}$ , was man zu $\begin{eqnarray*} p^2=2(2q^2) \end{eqnarray*}$ umformen kann. $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ muss also gerade sein und lässt sich durch p=2k ersetzen.
Durch erneutes Einsetzen kriegt man
$\begin{eqnarray*} 4k=4q \end{eqnarray*}$ geliefert.
D. h. k=q, ich weiß aber jetzt nicht wie ich daraus zeigen soll, dass p und q vollständig gekürzt sind

Ich hoffe man kann erkenne, an welchen Beweis meine Ideen angelehnt sind, aber irgendwie fehlt mir am Ende das letzte Stückchen.

mfg

12.05.2008, 18:22

tmo

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RE: Widerspruch

Zitat:

Original von Vieta
Zeigen Sie, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} r^2=4 \end{eqnarray*}$ eine rationale Lösung hat.

$\begin{eqnarray*} 2^2 = 4 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Oder sollst du etwa beschreiben, wo genau der Beweis, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ (ähnlich zu dem Beweis, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ irrational ist), irrational ist, scheitert?

12.05.2008, 18:26

Vieta

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Ich soll zeigen, wo der Beweis hapert. Dass 2*2=4 kann man mir ruhig noch zutrauen Big Laugh

12.05.2008, 18:28

tmo

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Beim Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist, wird doch aus $\begin{eqnarray*} 2|p^2 \end{eqnarray*}$ gefolgert, dass auch $\begin{eqnarray*} 2|p \end{eqnarray*}$ gelten muss. Diesen Schritt würde ich mal genauer unter die Lupe nehmen.

12.05.2008, 18:30

Vieta

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2|p^2 bedeutet doch, dass 2 p^2 teilt oder?

nur mal vorab zum verständnis

12.05.2008, 18:33

tmo

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Ja.

12.05.2008, 18:43

Vieta

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Angenommen es gäbe die Löung $\begin{eqnarray*} r=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ }, wobei der Bruch p/q vollständig gekürzt sei.
Einsetzen liefert: $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2}=4 \end{eqnarray*}$ , was man zu $\begin{eqnarray*} p^2=4q^2) \end{eqnarray*}$ umformen kann.
Daraus folgt nun $\begin{eqnarray*} 4|p^2 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt auch 2|p

... irgendwie finde ich es hier gerade wenig geistreich, was ich hier rechne, denn ich benutze gerade das Ergebnis, was ich eigentlich zeigen will verwirrt

12.05.2008, 18:45

tmo

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Zitat:

Original von Vieta
Daraus folgt nun $\begin{eqnarray*} 4|p^2 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt auch 2|p

Aber eben nicht $\begin{eqnarray*} 4|p \end{eqnarray*}$ .

Das ist das entscheidende.

12.05.2008, 18:51

Vieta

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Ich verstehe jetzt, dass es wichtig ist, dass da nicht 4|p rauskommt, denn sonst könnte man die Mühle wieder andrehen, aber ich verstehe nicht, warum man 2|p folgern darf.
Dabei benutze ich doch eigentlich die Lösung der Aufgabe, die ich gerade am bearbeiten bin verwirrt

Verstehst du worauf ich hinaus will?

12.05.2008, 18:54

tmo

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Wenn 2 nicht p teilen würde, wäre $\begin{eqnarray*} p = 2m+1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p^2 = 4m^2+4m+1 \end{eqnarray*}$ und somit nicht durch 4 teilbar.

12.05.2008, 22:23

WebFritzi

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Man kann sich das auch ganz einfach mit der Primfaktorzerlegung klarmachen.

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