Skalarprodukt

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Ben Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt
Tag zusammen. Ich habe folgendes Problem: Mein Mathelehrer fordert von mir, dass ich den Zusammenhang zwischen der Abstandsberechnung eines Punktes zu einer Ebene und dem skalaren Produkt verstehe; dazu ist es aber erst nötig, dass ich überhaupt erstmal die geometrische Deutung des Skalarproduktes verstehe; also ist meine Frage/Bitte, ob mir jemand die geometrische Deutung des Skalarproduktes erklären könnte? Vielen Dank schon im Voraus

Gruß Ben
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst einmal - in einem ersten Schritt - zu der geometrischen Deutung des Skalarproduktes: Stichwort Projektion!

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist - in der geometrischen Definition - gleich dem Produkt der Länge des ersten Vektors mal der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten, in der Skizze also .

[attach]8141[/attach]

Damit kannst Du Dir leicht klarmachen, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren dann gleich dem Produkt der Längen ist, wenn die zwei Vektoren parallel (linear abhängig) sind.

Daraus resultieren noch folgende ergänzende Feststellungen:
Wenn die Vektoren normal aufeinander stehen, ist deren Skalarprodukt gleich Null; auch das ist einleuchtend, denn dann verschwindet b' zu Null.
Es ist auch leicht zu ersehen, dass das Skalarprodukt eng mit dem Winkel, den die beiden Vektoren miteinander einschließen, einhergeht:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist (geometrisch) definiert als das Produkt der Beträge (Längen) dieser Vektoren mal dem Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels (weil es eben das Produkt der Länge des einen Vektors mal der Länge der Projektion des einen auf den anderen Vektor ist).



Das skalare Produkt zweier aufeinander normal stehenden Vektoren ist Null, weil cos(90°) = 0 (die Projektion des einen auf den anderen Vektor verschwindet).

Wenn du das einmal verstanden hast, können wir in einem zweiten Schritt dann zu der Projektion eines beliebigen Vektors auf den Einheitsnormalvektor einer Ebene übergehen, um damit den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen. Dabei werden wir uns mit dem Einsatz der sogenannten Hesse'schen Normalform befassen.

Falls andere Leser ergänzende Fakten oder Grafiken zu diesem nicht ganz einfachen Thema haben sollten, mögen sie sich frei fühlen, diese hier ebenfalls zu präsentieren.

mY+
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