Integration[lineare Substitution]

07.01.2006, 15:00

Rosi

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Integration[lineare Substitution]

Hallo
Kann mir jemand anhand folgenden Beispiels
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} e^{-wx} \end{eqnarray*}$
erklären wie die lineare Substitution geht.
Ich weiss das es die Umkehrung der Kettenregel ist,aber irgendjemand muss mir bitte mal ein Licht aufstecken.

07.01.2006, 16:04

20_Cent

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bei deinem integral fehlt ein dx.

1. Möglichkeit:

du substituierst -wx=u, ersetzt dx:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=u' <=>dx=\frac{du}{u'} \end{eqnarray*}$

u' ist die ableitung der substitutionsvorschrift.

danach integrierst du nach u und substituierst zurück.

2. Möglichkeit:

Du leitest ab und guckst, was dabei dazu kommt, dann schreibst du den Kehrwert davon davor und bist fertig.

mfG 20

07.01.2006, 16:38

rosi

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Original von rosi
und woher weiss man was man für u nimmt ?
zB bei
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{1}{xlnx}~dx \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}xe^{-x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$
und wie rechnet man dann weiter ?

mfg rosi

07.01.2006, 16:52

20_Cent

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oft nimmt man die komplette innere funktion als u, -x^2 im zweiten fall.
Im ersten Fall fällt auf, dass die Ableitung von ln(x) schon da steht, also substituiert man u=ln(x).

mfG 20

07.01.2006, 17:09

rosi

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20_cent ich versteh nicht was du da sagst!
kann mir bitte jemand anders das so erklären das man es gut versteht und vielleicht einen sinn macht ?!

07.01.2006, 17:15

klarsoweit

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Wenn du die Funktion g(x) = ln(f(x)) ableitest, bekommst du
$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray*}$ .
Der Trick ist, zu erkennen, ob im Integral so etwas steht wie $\begin{eqnarray*} f'(x) \cdot \frac{1}{f(x)} \end{eqnarray*}$ mit einer passenden Funktion f(x). Dann ist die Stammfunktion F(x) = ln(f(x)).

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07.01.2006, 17:15

20_Cent

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Ich versuchs noch einmal:

anhand deines zweiten Beispiels:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}xe^{-x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$

wenn du hier $\begin{eqnarray*} u=-x^2 \end{eqnarray*}$ substituierst, dann kommst du weiter.

Ersetze dx, wie ich oben beschrieben habe, also indem du die Ableitung der Substitutionsvorschrift machst, danach kürzt sich was weg und du kannst das Integral lösen.
mfG 20

PS: Auch hier kann man scharf hingucken:
Das vordere x weglassen, ableiten und gucken, welche konstanten hinzukommen, deren Kehrwert dann dazu schreiben, dann hat man die Stammfunktion. Das liegt daran, dass die innere Ableitung schon draußen steht, bis auf diese Konstanten eben.

edit: klarsoweit hat eine formel für das "scharfe hingucken" geliefert.

07.01.2006, 17:26

rosi

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aha

also schreib ich jetzt
$\begin{eqnarray*} u=-x^{2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} dx= \frac{du}{u'} \end{eqnarray*}$ Wie kommt man dazu ?

Wie gehts jetzt weiter ?

07.01.2006, 17:30

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=u' \end{eqnarray*}$

das ist die defintion der ableitung.

Nach dx umgeformt ergibt sich dann die obige gleichung.

Jetzt bildest du u' und ersetzt dann dx.

mfG 20

07.01.2006, 17:32

bil

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also rosi, allgmein ist es immer auch gut die suchfkt zu benutzen!
hier wäre der passende link für dich: (mit schön vielen bsp. und ist auch sehr gut zu verstehen)
Einfache Anfangsaufgabe zur Integralrechnung gesucht
kannst dir ruhig alles durchlesen, schätze nicht das es dir schadet..
deine gewünschte substitution mit erklärung kommt ca. in der mitte des threads...

ach ja und wenn das nicht reicht
siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Substitutionsregel

und nochwas, substitution lernt man leider nur durch viel anwendung. also rechne so viel wie möglich Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

07.01.2006, 17:33

klarsoweit

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Der Deutlichkeit halber würde ich $\begin{eqnarray*} u(x) =-x^{2} \end{eqnarray*}$ schreiben. Das macht klar, daß u eine Funktion von x ist. Man will ja auch u(x) nach x ableiten.
Beim Einsetzen schreibt man natürlich nur u für -x².

07.01.2006, 17:39

rosi

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k
also
$\begin{eqnarray*} u'=-2x \end{eqnarray*}$
macht dann
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}xe^{-x^{2}} \frac{du}{-2x} \end{eqnarray*}$
und nun ?

07.01.2006, 17:40

20_Cent

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jetzt ziehst du das 1/(-2) aus dem integral raus und kürzt das x. -x^2 im exponenten ersetzt du durch u.
Dann kannst du integrieren.
mfg 20

07.01.2006, 17:41

rosi

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Zitat:

Original von bil

ach ja und wenn das nicht reicht
siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Substitutionsregel

gruss bil

Da versteh ich nix !!!

der hier is schon besser aber immer noch zu schwer für mich:

http://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html#21

07.01.2006, 17:51

Rosi

Auf diesen Beitrag antworten »

also hab ich dann
$\begin{eqnarray*} e^{u} \frac{du}{-x} \end{eqnarray*}$
und jetzt ?

07.01.2006, 17:51

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das stimmt nicht, wie kommst du da drauf?
mfG 20

07.01.2006, 17:55

rosi

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Ich hab das x rausgekürzt zund dann für -x^2 u eingesetzt wie du es mir geraten hasst.

07.01.2006, 18:01

bil

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Zitat:

Original von rosi

Zitat:

Original von bil

ach ja und wenn das nicht reicht
siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Substitutionsregel

gruss bil

Da versteh ich nix !!!

der hier is schon besser aber immer noch zu schwer für mich:

http://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html#21

aha...
bist du sicher das dieser link:
Einfache Anfangsaufgabe zur Integralrechnung gesucht
zu schwer ist? den wikipedia link kann ich verstehen...
du kannst auch ab hier anfangen:
Einfache Anfangsaufgabe zur Integralrechnung gesucht
zu lesen. ich finde es ist recht gut erklärt....
kannst dir ja einfach mal durchlesen, dann wird vll dieser thread für dich leichter zu verstehen sein. und wenn du es verstanden hast, würde ich die bsp von meinem link auf jeden fall mal durchgehen und probieren zu lösen...

gruss bil

07.01.2006, 18:08

rosi

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^^ok mach ich jetzt mal
danke..

07.01.2006, 18:17

20_Cent

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Zitat:

Original von rosi
Ich hab das x rausgekürzt zund dann für -x^2 u eingesetzt wie du es mir geraten hasst.

das x steht aber noch im nenner da...
außerdem hast du das integral vergessen. Und damit auch das davorstehende 1/2

mfG 20

07.01.2006, 19:37

rosi

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so nu hab ich
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} e^{x^{-2}} \end{eqnarray*}$
?

07.01.2006, 20:05

rosi

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kann mir nochmal jemand sagen wie man das ableitet wenn im Exponenten eine Funktion steht bitte..
Ich find da keine Ableitungsregeln

07.01.2006, 20:13

rosi

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wieso ersetzt man das $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ eigentlich für eine 1 ein ?

07.01.2006, 21:19

20_Cent

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Zitat:

Original von rosi
wieso ersetzt man das $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ eigentlich für eine 1 ein ?

wie kommst du da drauf?
man ersetzt es doch nach dieser vorschrift.

Zitat:

so nu hab ich
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} e^{x^{-2}} \end{eqnarray*}$
?

wieso ersetzt du schon wieder nicht das -x^2??
wenn du es ersetzt, dann kannst du ganz einfach nach u integrieren.

mfG 20

edit:

Zitat:

Original von rosi
kann mir nochmal jemand sagen wie man das ableitet wenn im Exponenten eine Funktion steht bitte..
Ich find da keine Ableitungsregeln

Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} f(g(x))=g'(x)\cdot f'(g(x)) \end{eqnarray*}$

07.01.2006, 21:56

rosi

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Zitat:

Original von 20_Cent
wieso ersetzt du schon wieder nicht das -x^2??
wenn du es ersetzt, dann kannst du ganz einfach nach u integrieren.

Willkommen

ich hab torschlusspanik. ich hab gedacht ich bin fertig

gut jetzt hab ich es gecheckt

danke nochma an alle die mich auf die richtige spur gebracht haben

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