volumenformel einer kugelkappe

07.01.2006, 15:30	lis@	Auf diesen Beitrag antworten »
volumenformel einer kugelkappe also ich soll aus einer kugel einen kegel ausschneiden, es bleibt dann eine kugelkappe übrig, da die grundfläche des kegels ja flach und nicht rund ist... ich soll die formel für die berechnung des volumens der kugelkappe herleiten und dann das volumen, das der kegel und die kappe ergeben berechnen...kann mir jemand helfen?
07.01.2006, 15:35	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mal eine skizze mitschicken, wie das ganze aussehen soll? insbesondere, wo du wie einen kegel ausschneidest? und was eine "kugelklappe" ist, ist glaube ich auch keine mathematische allgemeinbildung
07.01.2006, 16:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt dir die beiden Figuren im Bild als um die vertikalen Achsen rotierend vorstellen. Dann hast du links eine Halbkugel und rechts einen Zylinder, aus dem ein Kegel ausgeschnitten ist. Wenn du nun auf dem Niveau $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ einen Schnitt durch die Figur machst, so wird in der linken Figur ein Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ ausgeschnitten und in der rechten ein Kreisring mit $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ als äußerem und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als innerem Radius. Nun gilt aber nach Pythagoras im linken Bild $\begin{eqnarray} \rho^2 + x^2 = r^2 \end{eqnarray}$ so daß der Kreis den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} \pi \rho^2 = \pi (r^2 - x^2) \end{eqnarray}$ besitzt. In der rechten Figur erhältst du die Ringfläche als Subtraktion zweier Kreisflächen: $\begin{eqnarray} \pi r^2 - \pi x^2 = \pi (r^2 - x^2) \end{eqnarray}$ Die Übereinstimmung der beiden Werte zeigt: Auf jedem Niveau $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ werden aus beiden Figuren gleichgroße Flächen ausgeschnitten. Nach dem Prinzip von Cavalieri sind daher die beiden Körper volumengleich. Das ist das bekannte Verfahren, nach dem in der Schule die Volumenformel für die Kugel unter Berufung auf den gesunden Menschenverstand (Prinzip von Cavalieri) hergleitet wird: Man muß nur aus einem Zylinder mit Grundkreisradius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und Höhe $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ einen entsprechenden Kegel wegnehmen, und schon hat man das Volumen der Halbkugel und damit auch der Kugel. Und dasselbe Verfahren geht auch, wenn du nur den oberen Teil der Figur betrachtest. Um das Volumen des Kugelsegments (unter der Kugelkappe versteht man eigentlich den diesem Segment aufsitzenden Teil der Kugelfläche), also alles oberhalb des roten Kreises, herzuleiten, kannst du auch in der rechten Figur das Volumen oberhalb des roten Kreisringes berechnen. Und wie das geht, kannst du selber überlegen. Ein Tip: Mit Subtraktionen und Additionen der Volumina von Zylindern und Kegeln kommt man hin. Am besten arbeitest du mit der Größe $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Du kannst sie am Schluß mittels $\begin{eqnarray} x = r - h \end{eqnarray}$ durch die Segmenthöhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ersetzen.
20.01.2006, 15:04	Matthias(aut)	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelkappe! Die formel für das Volumen einer Kugelkappe (Kalotte) lautet:"(2pir²*h)/3" h ist die stichhöhe!

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