Matrixnormen

12.05.2008, 22:06

Fletcher

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Matrixnormen

Guten Tag,

ich hoffe ihr könntet mir einen Tip bei folgender Aufgabe geben, da ich bei der Teilaufgabe b) nicht weiter komme, die a) poste ich einfach mal zur Kontrolle mit:

Es sei $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}=max|x_i| \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} M \in Mat(n,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ definieren wir die Operatornorm $\begin{eqnarray*} ||M||_{\infty}=max||Mx||_{\infty}, ||x||_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$ bzgl der Supremumsnorm im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

a) Für $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty}= 1 \end{eqnarray*}$ zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} ||Mx||_{\infty} \leq max \sum_{j=1}^n~|M_{i,j}| \end{eqnarray*}$

Meine Lösung, ich verwende die obige Definiton für einen Vektor, schreibe dann das Matrixvektorprodukt mit Hilfe der Summe und verwende dann die Dreiecksungleichung und das die Norm von x = 1 ist und dann steht die Abschätzung schon da. Bei der b) kenne ich mich jetzt aber nicht mehr so gut aus:

b) Es sei $\begin{eqnarray*} i^* \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n|M_{i^*,j}|=max \sum_{j=1}^n|M_{i^,j}| \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} x^*=(x^*_j) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x^*_j=1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} M_{i^*,j} \geq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_j^*=-1 sonst. \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} ||Mx^*|| \geq max \sum_{j=1}^n|M_{i,j}| \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich habe das jetzt schon paar mal versucht anzusetzen, aber ich bekomme diese Abschätzung nicht hin, kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Das max wird immer über $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ gebildet!

MfG

12.05.2008, 23:28

Mathespezialschüler

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Schreib dir das Produkt einfach mal hin:

$\begin{eqnarray*} Mx^*=\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} & \ldots & M_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{i^*1} & M_{i^*2} & \ldots & M_{i^*n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{n1} & M_{n2} & \ldots & M_{nn} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1^* \\ \vdots \\ x_{i^*}^* \\ \vdots \\ x_n^* \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Multipliziere das aus, suche den betragsmäßig größten Eintrag des Ergebnisses und dann steht es schon da.

13.05.2008, 08:19

Fletcher

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Schreib dir das Produkt einfach mal hin:

Multipliziere das aus, suche den betragsmäßig größten Eintrag des Ergebnisses und dann steht es schon da.

$\begin{eqnarray*} Mx^*=\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} & \ldots & M_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{i^*1} & M_{i^*2} & \ldots & M_{i^*n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{n1} & M_{n2} & \ldots & M_{nn} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1^* \\ \vdots \\ x_{i^*}^* \\ \vdots \\ x_n^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} M_{1,i^*} \\ \vdots \\ M_{i^*,i^*}\\ \vdots \\ M_{n,i^*} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Der Vektor $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ hat doch nur einen Eintrag mit einer 1 und sonst lauter nullen oder muss dass nicht unbedingt sein?

EDIT2:
Das muss wohl nicht so sein, deshalb kann man dann auch gut die Abschätzung verwenden, was aber gelten muss ist: Das kein Eintrag von x^* > 1 ist. Sonst wäre ja diese Normierung verletzt

13.05.2008, 17:41

Mathespezialschüler

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Guck dir nochmal die Definition von $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} x_j^*=\begin{cases} 1 & \text{für } M_{i^*j}\geq 0 \\ -1 & \text{für } M_{i^*j}<0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt multipliziere doch dieses Produkt aus Matrix und Vektor erstmal aus, dann sehen wir weiter.

13.05.2008, 18:05

Fletcher

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$\begin{eqnarray*} Mx^*=\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} & \ldots & M_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{i^*1} & M_{i^*2} & \ldots & M_{i^*n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{n1} & M_{n2} & \ldots & M_{nn} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1^* \\ \vdots \\ x_{i^*}^* \\ \vdots \\ x_n^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} M_{1,1}+\ldots+M_{1,n} \\ \vdots \\ M_{i^*,1}+\ldots+M_{i^*,n}\\ \vdots \\ M_{n,1} +\ldots+M_{n,n}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Zeile mit $\begin{eqnarray*} i^* \end{eqnarray*}$ war gerade die mit dem größten Wert, doch durch die besondere Wahl von $\begin{eqnarray*} x^*_j \end{eqnarray*}$ kann es sein, dass andere Zeilen nun größer sind und daher rührt die Abschätzung nicht wahr?

Aber wir formuliert man das jetzt formelmäß?

13.05.2008, 19:23

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Fletcher
$\begin{eqnarray*} Mx^*=\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} & \ldots & M_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{i^*1} & M_{i^*2} & \ldots & M_{i^*n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{n1} & M_{n2} & \ldots & M_{nn} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1^* \\ \vdots \\ x_{i^*}^* \\ \vdots \\ x_n^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} M_{1,1}+\ldots+M_{1,n} \\ \vdots \\ M_{i^*,1}+\ldots+M_{i^*,n}\\ \vdots \\ M_{n,1} +\ldots+M_{n,n}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ist falsch. Es sind doch nicht alle Komponenten des $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Vektors $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Guck dir doch einfach nochmal die Definition dieser Komponenten an. Ich könnte sie dir auch so hinschreiben, vielleicht hilft das ja:

$\begin{eqnarray*} x_j^*=\operatorname{sgn}(M_{i^*j}) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn} \end{eqnarray*}$ die Signumfunktion bezeichne. (Das stimmt zwar für $\begin{eqnarray*} M_{i^*j}=0 \end{eqnarray*}$ nicht, das ist aber egal!)

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13.05.2008, 19:31

Fletcher

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Sorry, aber dann komme ich offensichtlich nicht mit der Notation klar. Die j-te Komponente dieses Vektors ist eben +1 oder -1, je nachdem ob dieser Matrixeintrag pos. bzw. negatives vorzeichen hat. Das ist mir alles klar, aber dieser Vektor x selbst macht Probleme. Sind alle Komponenten außer die j-te gleich 0 oder wie? Das steht nirgends explizit da...

13.05.2008, 19:33

Mathespezialschüler

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Beispiel: Ist $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{i^*1}>0,M_{i^*2}=0,M_{i^*3}<0 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1^* \\ x_2^* \\ x_3^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ist nur ein Laufindex, kein vorher festgelegter Wert.

13.05.2008, 19:47

Fletcher

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also habe ich es schon richtig verstanden, dieser Vektor x besteht aus lauter +1 und -1 und dann stimmt meiner Meinung nach auch mein Matrix-Vektorprodukt von oben, denn eine -1 trifft ja gerade auf einen neg. Matrixeintrag und damit kommt ja wieder Plus heraus.

Allerdings bezieht sich das jetzt sicherlich nur auf diese eine bestimmte Zeile und in anderen Zeilen kann es durchaus sein, dass ein - auf ein + trifft und somit sind diese Zeilensummen kleiner... liegt da mein fehler?

13.05.2008, 20:15

Mathespezialschüler

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Ja, es kommt plus heraus. Aber wenn, wie in dem gerade gegebenen "Beispiel", $\begin{eqnarray*} M_{i^*3}<0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann kommt bei dir eben nicht plus raus, sondern wieder der negative Wert $\begin{eqnarray*} M_{i^*3} \end{eqnarray*}$ . Da hast du einen Denkfehler. Ansonsten stimmen deine Überlegungen schon, wobei aber in den anderen Zeilen tatsächlich nicht nur positive Werte stehen dürfen.

13.05.2008, 22:11

Fletcher

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Ja gut, macht es dich glücklicher wenn wir uns darauf einigen, dass die Summanden in der Zeile mit i* im Betrag stehen? Ich glaub darauf möchtest du doch hinaus, mein Denkfehler ist zugegeben schon vorhanden, aber ich denke das hat sich jetzt geklärt Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2008, 00:22

Mathespezialschüler

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Ja. Dann musst du noch begründen, dass die Maximumsnorm des entstehenden Vektors auch gerade durch diese Zeile gegeben ist und dann bist du im Prinzip fertig.

14.05.2008, 12:37

Fletcher

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Tach nochmal,

also ich habe mir das gerade alles nochmal hingeschrieben, aber wenn ich dann mit der Norm anfange usw. komme ich einfach nicht auf dieses größer gleich Zeichen. Obwohl ich das gestern auch verstanden habe, es ist mir klar, dass diese Zeile mit dem i^* gerade die Matrixnorm ist und das durch die besondere Wahl von dem Vektor x genau diese Zeile die Norm wird, aber warum gillt dann diese Abschätzung?

14.05.2008, 13:52

WebFritzi

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Ich hab das jetzt n icht aufgeschrieben, aber ich denke mir, dass hier eine Abschätzung hirnrissig ist, und dass man sofort sieht, dass Gleichheit gilt.

14.05.2008, 21:51

Fletcher

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Hi Webfritzi,

wenn du ganz oben mal guckst geht es um die b) und da ist ne Abschätzung verlangt. Mir auch schleierhaft, aber hat sich mittlerweile sowieso erledigt.

14.05.2008, 22:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fletcher
wenn du ganz oben mal guckst geht es um die b) und da ist ne Abschätzung verlangt.

$\begin{eqnarray*} a = b \;\Rightarrow a\le b. \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 07:27

Fletcher

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Ja, aber bei a) und b) geht es um

$\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ und daraus soll bei c) (nicht mehr gepostet) $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gefolgert werden...

15.05.2008, 14:58

WebFritzi

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a = b in (b) ist nicht dasselbe wie a = b in (c). Ich glaube, du hast das ganze noch nicht so richtig verstanden.

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