Kern einer Abbildung

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Fuxx Auf diesen Beitrag antworten »
Kern einer Abbildung
Hi!

Habe jetzt schon überall hier im Forum rumgesucht, aber bin immer noch nicht viel schlauer als zuvor :-(.

Also hänge jetzt schon länger an folgender Aufgabe:

"Sei eine lineare Abbildung definiert durch und.

Gilt dann Ker ( L) = ?."

Also ich glaube verstanden zu haben, was jetzt der Kern ist. Und zwar die Menge der Vektoren, für die die Abbildung dann 0 ist.
Jedoch weiß ich überhaupt nicht, wie ich jetzt richtig an die Aufgabe rangehen soll.
Wäre die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis { hier nicht

, welche ich dann gleich 0 setzen müsste?Oder muss ich das ganze bezgl. der Einheitsvektorenbasis berechnen?

Hierbei komme ich dann jedoch immer nur auf die Diagonalmatrix mit der letzten Zeile 0.

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also ich glaube verstanden zu haben, was jetzt der Kern ist. Und zwar die Menge der Vektoren, für die die Abbildung dann 0 ist.


Richtig.

Zitat:
Wäre die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis , welche ich dann gleich 0 setzen müsste?


Richtig. Ich hab die Matrix jetzt nicht überprüft, aber das kannst Du ganz leicht in dem Du einfach Deine 3 Vektoren durch die Du die Matrix bestimmt hast mit der Matrix multiplizierst. Dann muss der vorgegebene Ergebniswert herauskommen.

Zitat:
Hierbei komme ich dann jedoch immer nur auf die Diagonalmatrix mit der letzten Zeile 0.


Na und was heißt das dann? smile

Überleg mal. Du hast 4 Gleichungen und 3 unbekannte, dann müssen die 4 Zeilen linear abhängig sein (4 Vektoren des R³). Ergo entsteht ne Nullzeile, die aber absolut garnichts aussagt. Konzentrier dich darauf die Sachen oberhalb dieser Nullzeile zu lösen.
Fuxx Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich dann da stehen habe:



heisst das dann doch das nur der Nullvektor der Kern der Matrix ist, oder?

Hoffe mal ich habe das dann alles richtig grechnet. Hatte gehofft am Ende die in der Aufgabe angegebene Lösung zu bekommen.

Kann mir jemand vielleichtn sagen, ob meine Lösung richtig ist?


Danke schon mal im Voraus für die Hilfe!!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern einer Abbildung
Zitat:
Original von Fuxx
Gilt dann Ker ( L) = ?."


Die Frage ist auch ohne Rechnung zu beantworten, da sich der Vektor einfach kombinieren lässt.

Ansonsten ist dein Ergebnis schon richtig. Du musst nur noch überlegen, was das genau bedeutet: welches Gleichungssystem hast du denn gelöst durch deine Matrixumformungen und welche Lösung hast du nun?

Ansonsten: Was ist die Dimension des Bildes und des Kernes? Zusammen müsste ja 3 rauskommen.


Grüße Abakus
Fuxx Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe jetzt meine wirklich richtige Abbildungsmatrix gefunden und zwar:



.Dann habe ich das Gleichungssystem

gelöst.
und Kriege als einzigste Lösung den Nullvektor.

Also wäre quasi der

Ist dann die Dimension des Kerns 0?
Und ist das Bild hier in dem Fall dann: ?

und hiervon ist die Dimension dann 3 ?

Hoffe mal das ist jetzt alles so richtig Augenzwinkern .

Wie kann ich denn die Frage ohne Rechnung beantworten @ Abakus ?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern einer Abbildung
Zitat:

Gilt dann Ker ( L) = ?."


Es gilt:





Und das lässt sich gut ausrechnen. Dann noch schauen, ob es der Nullvektor ist.

(Deine Rechnung hab ich jetzt nicht nachvollzogen; dim Kern L = 0 stimmt).


Grüße Abakus smile
 
 
Fuxx Auf diesen Beitrag antworten »

hi!

Danke für die Hilfe....jetzt hab ichs glaub ich endlcih mal so einigermaßen gerafft Prost
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