Minimum einer stetigen Funktion

07.01.2006, 18:37

Fragende

Minimum einer stetigen Funktion

Hallo,

ich mache mir Gedanken über eine Aufgabe:

Gegeben sei eine Funktion:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} mit f(x) \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} \mid x \mid \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

d. h.

$\begin{eqnarray*} \forall K \in \mathbb R \exists L \in \mathbb R \forall x \in \mathbb R : \mid x \mid > L \Rightarrow f(x) > K \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: f hat ein Minimum, d. h.

$\begin{eqnarray*} \exists m\in \mathbb R \forall x\in \mathbb R : f(m)\leq f(x) \end{eqnarray*}$

Meine Idee ist:

Graphisch stelle ich mir vor, dass ich in einem Koordinatensystem an einer Stelle für f(x) eine waagerechte Grenze K ziehe. Zu einer bestehenden Funktion f finde ich ich also einen Punkt, den ich durch eine senkrechte Grenze L markieren, ab dem die Funktionswerte immer über K liegen.
Wenn ich jetzt ein K wähle, das positiv ist, muss das ja schon bedeuten, dass die Funktion auch nur positive Funktionswerte haben darf, da sonst ja diese Bedingung nicht erfüllt ist. Sagt denn die Aufgabenstellung dies schon aus? Ich weiß nicht so recht, ob es in " für $\begin{eqnarray*} \mid x \mid \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ " steckt.

07.01.2006, 18:50

therisen

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Verschoben

07.01.2006, 22:02

Mathespezialschüler

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Die Aussage ist falsch, da nirgendwo in deinem Beitrag, sondern nur in der Überschrift, steht, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als stetig vorausgesetzt wird. Wenn diese Voraussetzung gilt, dann ist die Aussage natürlich richtig. Ich gebe dir einmal einen Anfang: Setze in der Definition einfach mal $\begin{eqnarray*} K=f(0) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

08.01.2006, 15:22

Fragende

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Stimmt, in der Aufgabe fehlt die Angabe, dass f stetig ist. Es wurde uns aber nachträglich noch mitgeteilt.
Eine Frage noch zwischendurch: xBetrag ist doch an der Stelle x=0 gar nicht differenzierbar. Wie kann denn für dort ein Minimum bewiesen werden? Dass es irgendwie aber doch eins sein muss, ist mir schon verständlich. Bezogen auf f(x0) ist der Funktionswert ja noch innerhalb des Definitionsbereiches, aber der niedrigste mögliche Wert. Dennoch kann ich eine Ableitung doch nicht bilden?!

08.01.2006, 15:25

Mathespezialschüler

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Hallo!
Minima sind nicht über Ableitung definiert, sondern eben genau so, wie es bei dir in der Aufgabe steht. Und dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |x|\geq 0=|0| \end{eqnarray*}$

ist trivial. Somit ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ Minimum der Betragsfunktion. Das mit der Ableitung wird einem wohl leider in der Schule zu sehr in den Kopf gehämmert.

Gruß MSS

09.01.2006, 09:00

Fina

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Ok, dann ist das in der Aufgabenstellung also die Definition. Danke. Tatsächlich sind so einige Dinge aus der Schule ziemlich eingebrannt.... bei anderen wäre ich froh, wenn die überhaupt noch vorhanden wären...

Also wenn in der Aufgabenstellung die Definition gegeben ist, gilt es also, diese zu beweisen.

Könnte ich für den Start vielleicht noch einen kleinen Tipp bekommen...?

09.01.2006, 11:13

thoroh

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Verwende doch den Tipp von MSS und setze $\begin{eqnarray*} K=f(0) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ja ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ , sodass die Funktionswerte außerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} [-L,L] \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind.
Und innerhalb?

lg
thoroh

09.01.2006, 11:24

JochenX

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Zitat:

Original von Fragende
Eine Frage noch zwischendurch: xBetrag ist doch an der Stelle x=0 gar nicht differenzierbar.

hat das eigentlich irgendetwas mit dieser funktion zu tun!? oder ist das wirklich reine zwischenfrage zu einem völlig anderen thema?

du lässt dich da nicht von den beträgen im ausgangstext verwirren, oder?

09.01.2006, 16:53

Fina

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...innerhalb des Intervalls -L/L muss der Punkt sein, aus dem sich die Funktion jeweils in positive f(x)-Richtung bewegt, also das Minimum.
Aber eine sehr mathematische Formulierung ist das wohl nicht...

09.01.2006, 16:57

thoroh

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Hier kommt die Stetigkeit zum Tragen.
Welche Sätze über stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall kennst du?

lg
thoroh

09.01.2006, 16:59

Mathespezialschüler

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Naja, immerhin ist das schonmal ein Ansatz. Augenzwinkern

Außerhalb des Intervalls kann die Minimalstelle nicht liegen, da dort alle Funktionswerte $\begin{eqnarray*} >f(0) \end{eqnarray*}$ sind. Letztendlich musst du also die Funktion nur noch auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-L,L] \end{eqnarray*}$ betrachten. Nun gibt es einen schönen Satz über auf abgeschlossenen und beschränkten Intervallen definierte, stetige Funktionen, was das Maximum und Minimum angeht. Den kennst du doch sicher!?

Gruß MSS

09.01.2006, 20:23

Fragende

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Ja, ich glaube, so einen Satz habe ich gefunden:

Seien $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ a<b

$\begin{eqnarray*} f: [a, b] \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei stetig

Dann gibt es m, M $\begin{eqnarray*} \in [a, b] \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in [a, b] \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f(m) \leq f(x) \leq f (M) \end{eqnarray*}$

Da also unsere Funktion stetig ist, und das Intervall [-L, L] feststeht, muss der kleinste Funktionswert f(m) sein, der das Minimum beschreibt. Wichtig ist, dass das Invervall geschlossen ist.

09.01.2006, 20:24

Mathespezialschüler

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Richtig. Wenn du in dem Satz $\begin{eqnarray*} a=-L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=L \end{eqnarray*}$ setzt, erhältst du die in der Aufgabe geforderte Existenzaussage und bist damit fertig.

Gruß MSS

09.01.2006, 20:36

Fragende

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Cool, vielen Dank!!!

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