Frage nach der Existenz einer stetigen Funktion

07.01.2006, 18:38

o.B.d.A.

Frage nach der Existenz einer stetigen Funktion

Guten Abend!

Kann mir jemand einen Ratschlag bzgl. der Vorgehensweise zu folgender Aufgabe geben:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y)= a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \frac{x*y^{2}}{x^{2}+y^{4}} \end{eqnarray*}$ für sonst

Gibt es ein $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so dass f stetig?

Viele Grüße,
o.B.d.A.

07.01.2006, 18:47

Frooke

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Warum schreibst Du nicht
$\begin{eqnarray*} f(0{,}0)=a \end{eqnarray*}$ ?

Nun, wenn
$\begin{eqnarray*} f(x{,}y)=\frac{xy^2}{x^2+y^4} \end{eqnarray*}$
suchst Du letztlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\lim_{y \to 0}f(x,y) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to 0}f(b,b)=\frac{b^3}{b^2\left(1+b^2\right)} \end{eqnarray*}$

Hilft das weiter?

07.01.2006, 19:06

thoroh

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Nähert man sich $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ längs des Weges $\begin{eqnarray*} (t^2,t) \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} f(t^2,t)=\frac{t^4}{t^4+t^4}=\frac{1}{2}\nrightarrow 0 \end{eqnarray*}$

07.01.2006, 19:32

o.B.d.A.

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Erst einmal vielen Dank für die Antworten!
Wenn ich es richtig verstanden habe wäre bei Frookes Ansatz für a=0 die Funktion stetig, was jedoch das Beispiel von thoroh widerlegt.
Kann man daraus schon schließen, dass es somit kein a gibt, so dass die Funktion stetig ist?

07.01.2006, 19:33

Frooke

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Bei mir wäre a=1 aber ich muss das grad nochmal prüfen...

07.01.2006, 19:45

o.B.d.A.

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Hab mir das eigentlich so gedacht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to 0} \frac{b^{3}}{b^{2}(1 + b^{2})} = \lim_{b \to 0} \frac{b}{b^{2}+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Somit muss a=0 sein, da ansonsten der Graph einen Sprung hat und damit nicht stetig ist.

07.01.2006, 19:51

Abakus

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Es gibt noch andere Wege nach 0, etwa der Weg längs $\begin{eqnarray*} (2*t^2,t) \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} f(2*t^2,t)=\frac{2*t^4}{4*t^4+t^4}=\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus

07.01.2006, 19:58

thoroh

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Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ist sogar jeder Weg längs einer Geraden durch den Nullpunkt stetig.
Wählt man $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind nicht einmal diese Wege stetig.
Da aber auch für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ keine Stetigkeit zu haben ist (siehe oben), ...

lg
thoroh

07.01.2006, 20:37

o.B.d.A.

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Nur noch einmal zum Verständnis:
Ist es richtig zu sagen, dass durch $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} f(t,t)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} f(t^2,t)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ deutlich wird, dass das Resultat offenbar von der Richtung abhängt, in der man sich dem Punkt (0,0) nähert und somit f für jedes a nicht stetig in (0,0) sein kann?

07.01.2006, 21:14

thoroh

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Besser: ... vom Weg abhängt ...

Ansonsten klingt es überzeugend.

lg
thoroh

07.01.2006, 22:14

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Frooke

suchst Du letztlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\lim_{y \to 0}f(x,y) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to 0}f(b,b)=\frac{b^3}{b^2\left(1+b^2\right)} \end{eqnarray*}$

Hallo Mike!
Das ist beides falsch. Gesucht ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x,y\to 0}f(x,y) \end{eqnarray*}$ . Das ist etwas anderes!
Desweiteren musst du alle möglichen Folgen $\begin{eqnarray*} z_n=(x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ betrachten, die gegen $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ gehen. Du hast nur alle Folgen der Form $\begin{eqnarray*} z_n=(x_n,x_n) \end{eqnarray*}$ betrachtet bei deiner zweiten Schreibweise, deswegen erhältst du auch ein unvollständiges Ergebnis. Augenzwinkern

Gruß MSS

07.01.2006, 22:55

Frooke

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Die beiden Limes sind falsch, ja... Mann, ich hab mich nicht mehr so mit den Schreibweisen, denn eigtentlich wollte ich schon das x,y => 0 aussagen...

08.01.2006, 11:19

o.B.d.A.

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Desweiteren musst du alle möglichen Folgen $\begin{eqnarray*} z_n=(x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ betrachten, die gegen $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ gehen.

Noch ne Frage zum Verständnis Augenzwinkern

Stetigkeit bedeutet doch, dass für jede gegen (0,0) konv. Folge gilt, dass die Folge der Funktionswerte gegen f(0,0) konv. oder?

Das heißt doch, dass die hier diskutierte Funktion deshalb nicht stetig in (0,0) sein kann, weil ich zwei Folgen finde, welche gegen (0,0) konvergieren, aber deren Grenzwerte der Folgen der Funktionswerte nicht gleich sind:
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} f(t,t)=0 und \lim_{t \to 0} f(t^2,t)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das drückt doch eigentlich die Aussage "das Resultat hängt offenbar vom Weg ab, mit dem man sich (0,0) nähert" aus, oder?

Und noch eine letzte Frage (dann hör ich auch auf smile

):
Nach der Def. von Stetigkeit wie oben betrachtet man sich gegen (0,0) konvergente Folgen (bspw $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ). Ich habe eigentlich immer gelernt, dass dies bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n=(0,0) \end{eqnarray*}$ sein muss. Nun betrachtet man aber bspw $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} (t,t)=(0,0) \end{eqnarray*}$ . Sinngemäß ist das natürlich das Gleiche. Allerdings ist Letzteres doch eigentlich keine Folge oder? Ich frage mich sozusagen, ob das formal korrekt ist.

Hoffe ich konnte einigermaßen verständlich meine Fragen ausdrücken smile

VG,
o.B.d.A.

08.01.2006, 15:22

Mathespezialschüler

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Hallo nochmal.
Ja, das erste hast du vollkommen richtig verstanden.
$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0}f(t,t) \end{eqnarray*}$ darf man keinesfalls für die Stetigkeit heranziehen! Dies deckt nämlich nur eine Art von Folgen ab, eben die Folgen $\begin{eqnarray*} a_n=(x_n,x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\to 0 \end{eqnarray*}$ . Selbst ist es natürlich keine Schreibweise für Folgen. Aber da (hier) Folgenstetigkeit und $\begin{eqnarray*} \varepsilon\text{-}\delta \end{eqnarray*}$ -Stetigkeit äquivalent sind, sind es auch die Schreibweisen. Wie gesagt, für Stetigkeit muss man

$\begin{eqnarray*} \lim_{x,y\to 0}f(x,y) \end{eqnarray*}$

betrachten.

Gruß MSS

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