Untersuchung einer schwierigen Folge

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Sly Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung einer schwierigen Folge
Hallo Leute!
Ich habe folgende Folge:

, wobei beliebig.

Wie zeige ich, dass die Folge konvergiert? Also in diesem Fall scheint es wohl so zu sein, dass der Grenzwert ist und die Werte um diesen Wert alternieren.
Also irgendwie stehe ich auf dem Schlauch verwirrt
Ich bleib immer wieder stehen: Zuerst wollte ich zeigen, dass (wenn ) die Teilfolge monoton fällt und monoton wächst und jeweils durch den Grenzwert beschränkt sind.
Nach vielem rumprobieren fand ich aber Gegenbeispiele für die ersten Folgeglieder, so zum Beispiel bei .
Aber fest steht: Diese Teilfolgen werden ab einer Stelle monoton!
Aber wie zum Geier zeig ich das...ich hab grad gar keinen Ansatz.

Für einen Hinweis oder Tipp wär ich schon sehr dankbar smile
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung einer schwierigen Folge
Diskutiere die Aufgabe am besten mit der Fallunterscheidung , und .
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich schon versucht, aber ich seh nirgends, wo man gescheid abschätzen kann...
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Sei also zunächst . Wir beweisen, dass für alle n gilt. Daraus folgt dann auch unmittelbar, dass für alle n.

Überlege dir nun, dass äquivalent dazu ist, dass die Parabel



keine reellen Nullstellen besitzt.



Nun kannst du dich auf die Monotonie stürzen.


Edit: Obiges sollte also sogar für alle gelten.

Edit2: Obere Grenze von 1 auf 3/4 geändert.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Herjee ... die Folge hat es tatsächlich in sich. Gefällt mir. Augenzwinkern

Also monoton ist die jedenfalls nicht, aber aus der Beschränktheit folgt, dass es eine konvergente Teilfolge gibt, die gegen konvergiert. Das ist gut, weil man damit sicherstellt, dass man beliebig nah an den evtl. Grenzwert rankommt. Nun könntest du den Fixpunktsatz von Banach bemühen und das Kontraktionsintervall der Funktion



ausrechnen. Dann argumentierst du, dass die Teilfolge sicherstellt, dass du in dieses Intervall kommst (und zwar nach endlich vielen Schritten). Dort angekommen sichert der Fixpunktsatz, dass die Folge tatsächlich gegen den postulierten Grenzwert konvergiert.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, die Idee gefällt mir!
Ich werde mich demnächst wieder damit beschäftigen.

Muss morgen in nem anderen Fach ne Prüfung ablegen, deshalb...schreib ich die nächsten Tage einen Post wie weit ich gekommen bin.
 
 
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Steht in der Aufgabe tatsächlich ? Es sollte nämlich auch mit funktionieren.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Ja tut es, die Aufgabe ist eigentlich die Untersuchung des Verhaltens für , für die Fälle kleiner oder gleich 2 habe ich die Konvergenz aber schon bewiesen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergiert sie auch für ? Nein, oder? Für sollte sie auch divergieren.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, für lambda kleiner gleich 1 ist sie eine Nullfolge.
Für größer als 3 divergiert sie, hat aber eine bestimmte Anzahl an Häufungspunkten...
Ich setz mich heute mal wieder an die Aufgabe
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly
Doch, für lambda kleiner gleich 1 ist sie eine Nullfolge.

Grml ... na klar ... das war ja auch grade der einfache Fall. Hammer

Hab wärend der ganzen Rechnerei das zweite (ursprünglich instabile) Equilibrium x=0 ganz vergessen. Finger1
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab ein leichtes Problem bzw. nen Hänger. Soweit bin ich:

Zunächst zeigen wir: Die Funktion definiert durch ist eine Funktion .
Ist nämlich , so ist

und

Desweiteren gilt
für
Also ist f im Intervall kontrahierend.

Nun ist aber keines der beiden Intervalle eine Teilmenge der anderen...Um den Banachschen Fixpunktsatz anzuwenden, brauche ich ja ein abgeschlossenes Intervall, dessen Bild in sich selbst enthalten ist UND in dem die Funktion kontrahierend ist.
Irgendwie hab ich das doch hier gar nicht, oder?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir mal bei dem Fall . Dann ist f auf eine Kontraktion. Nun heißt es ein Teilintervall zu finden in dem f auch noch eine Selbstabbildung ist.

Dafür eignet sich z.B. folgender Ansatz. Wähle . Klar: Für hinreichend kleine a ist . Bestimme nun a, so dass gilt.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist f auf K kontrahierend? Also es ist



Und das ist größer als 1.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »



also



und folglich

Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsache, man muss nur richtig gucken Big Laugh
OK ich rechne mal weiter...
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...entschuldige, aber irgendwie komme ich nicht drauf, für welche a dieses Intervall nach oben abgeschlossen sein soll.
Nach unten ok, aber nach oben entzieht sich mir völlig.
Vielleicht noch nen kleiner Tipp? Gott

Die Aufgabe hats echt in sich verwirrt
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly
Hm...entschuldige, aber irgendwie komme ich nicht drauf, für welche a dieses Intervall nach oben abgeschlossen sein soll.

Nach "oben abgeschlossen"? Was meinst du damit?

Um hinzubekommen, muss du a so wählen, dass die Ungleichungen



und



erfüllt sind.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Verwechselst du jetzt nicht ein paar Zahlen?

Wolltest du jetzt eigentlich sagen: bzw.

Und wenn ja, warum soll das reichen? Um die Abgeschlossenheit zu zeigen, muss ich doch für alle zeigen, oder nicht?
Wie du siehst, bin ich gerade verwirrt, also sei bitte gnädig... Augenzwinkern
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly
Wolltest du jetzt eigentlich sagen: bzw.


Ja - hast natürlich recht. Sorry!


Aber warum willst du denn Abgeschlossenheit zeigen? An welcher Stelle brauchst du das? Und im allgemeinen ist das falsch, denn sowohl als auch ist offen.


Edit: Fehler eingesehen. Gott
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Btw. kannst du deine Resultate hier überprüfen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische...matische_Modell
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link, aber den Beweis werde ich offenbar nicht mehr finden...
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Na so schwer ist das doch gar nicht.

Wie wir bereits wissen ist auf eine Kontraktion. Nun heißt es ein Intervall zu finden, so dass
  1. ,
  2. ,


gilt. Dann liefert Banachs Fixpunktsatz (wegen der Beschränktheit der Folge) das gewünschte Resultat.

Also um (1) zu gewährleisten wählen wir . Für hinreichend kleine a (nämlich ) ist damit auch (2) erfüllt. Wählt man nun noch ein wenig kleiner (nämlich , so gilt außerdem , d.h. ist auf monoton (in diesem Fall fallend). Dieser Umstand erleichtert es nachzurechnen, dass mit dieser Wahl von (3) schon gültig ist.

Fertig. smile
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Coole Sache! Hätt ich doch vorher geschaut! Big Laugh

Ich hab nämlich jetz auch selbst nen Ansatz gehabt. Mit diesem hab ich auch nachweisen können, dass es eine Umgebung gibt, sodass kontrahierend ist.

Da das ein bisschen lang aufzuschreiben ist, hier die Kernidee: Es ist . Da f stetig differenzierbar, gibt es ein , sodass für ein gewisses q. Dann zeigt sich leicht, dass gilt.

Soweit bin ich nun also auch. Wie argumentiere ich jetzt, dass ein Folgeglied diese Umgebung auch trifft?
Die Folge ist beschränkt und hat daher eine konvergente Teilfolge. Kann man annehmen, dass der Grenzwert dieser Folge auch sein muss? Dann wäre man ja schon fertig.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt die beiden Equilibria 0 und x^* - demzufolge auch Teilfolgen, die gegen diese konvergieren.


Edit: Mmm ... nee es gibt keine Teilfolge die gegen Null konvergiert ... warum denn jetzt nur? verwirrt
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nur die zwei Möglichkeiten? Ich meine, in diesem Fall scheint es plausibel, aber ich glaube das ist ein falsches Argument.

Wir wissen nur: WENN die gesamte Folge konvergiert, ist der Grenzwert 0 oder x*.
Nun liegt eine Teilfolge vor, die konvergent ist. Woher sollen wir wissen, dass der Grenzwert der Teilfolge eben x* ist, solange wir gar nicht wissen, ob die gesamte Folge konvergiert?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Die Teilfolge konvergiert gegen einen Häufungspunkt der Folge - daher kommen nur 0 und x* (eigentlich nur x*) in Frage. Evtl. musst du halt zeigen, dass 0 kein HP sein kann.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut aber woher wissen wir überhaupt ob x* ein Häufungspunkt ist?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge ist beschränkt, also existiert wenigstens ein HP x*. Außerdem

Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Aber Moment...die TEILfolge muss ja nicht dieser Vorschrift genügen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Doch.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Nu versteh ich garnix mehr.

Nehmen wir mal n Beispiel. Die Folge konvergiert garnicht, genügt aber der Vorschrift .
Die konvergente Teilfolge, die konstant gleich 1 ist, genügt dieser Vorschrift aber nicht wirklich.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du nicht daran glaubst (und das solltest du nicht, so lange du Zweifel hast) kannst du alternativ (versuchen) direkt beweisen, dass x*=1-1/lambda ein HP der Folge x_n ist.

Dafür genügt es zu zeigen, dass in jeder Umgebung von x* ein von x* verschiedenes Folgenglied liegt. Ebenso kannst du x*=0 als HP ausschließen, in dem du zeigst, dass es unabhängig vom Startwert x_0 ein c>0 gibt, so dass alle Folgenglieder ab dem Index n=2 der Abschätzung



genügen.


Edit: Hab das mal (auf die Schnelle) versucht. Scheint aussichtslos zu sein. verwirrt

Ich erklär dir mein Argument noch mal: Also wir wissen x_n ist beschränkt und besitzt damit eine konvergente Teilfolge. Den Grenzwert dieser Teilfolge nennen wir mal y*. Wegen der Eindeutigkeit der Grenzwerte muss y* die Gleichung erfüllen. Daher kommen nur y*=0 und y*=x* in Betracht. y*=0 kannst du nun wegdiskutieren.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wegen der Eindeutigkeit der Grenzwerte


Wie gesagt, anschaulich ist das irgendwie klar. Aber wie will man das denn formal begründen und hinschreiben?
Eine Eindeutigkeit des Grenzwertes in dem Sinne mit DEM Argument ist ja nur gegeben, wenn unsere ursprüngliche Folge konvergiert, genau das wollen wir aber ja zeigen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam verstehe ich deine Bedenken.

Nunja ... betrachtet man mal kurz die zugehörige stetige Gleichung



so findet man eine strikte Ljapunov-Funktion

,

welche in x*=1-1/lambda ein isoliertes Minimum hat. Im stetigen Fall ist die globale Konvergenz (unabhängig vom Startwert) also geklärt. Leider ist der Rückschluss auf den diskreten Fall nicht ohne weiteres möglich - außerdem wollen wir doch nicht mit Kanonen auf Spatzen(?) schießen.

Ich denke nochmal drüber nach.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Äh okay das sind jetzt mir unbekannte Begriffe mitlerweile Hammer

Naja wie auch immer...die Aufgabe habe ich mitlerweile abgeben müssen.
Besprechen werden wir die nächste Woche spätestens, dann weiß ich auch was richtig gewesen wäre Augenzwinkern (und poste es dann)
Nichtsdestotrotz danke sehr für deine ausgiebige Hilfe, Dual Space smile
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. smile
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zu mehr war mein Übungsgruppenleiter auch nich in der Lage -.-

Wir werdens wohl nie erfahren XD
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann nicht sein Ernst sein. Wie kann er denn Aufgaben stellen, die er selbst nicht lösen kann. böse
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