Fouriertransformation

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07.01.2006, 23:08	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformation Hallo zusammen, Ich habe folgende Aufgabe (für Physik...): Berechnen Sie die Fouriertransformation von a) $\begin{eqnarray} f(t)=\left\{\begin{array}{ll} +A\mbox{~~für~~}0<t<\frac{\pi}{\omega} \\[3mm]-A\mbox{~~für~~}\frac{\pi}{\omega}<t<\frac{2\pi}{\omega} \end{array}\right. \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f(t)=\left\{\begin{array}{ll} \cos{(\omega_0t)}\text{~~~~für~~}-\tau<t<\tau\\[3mm]0\mbox{~~sonst~~} \end{array}\right. \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, dass ich zwar die Formel für die Fouriertransformation kenne: $\begin{eqnarray} F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}~f(t)e^{-i\omega t}~dt \end{eqnarray}$ aber nicht weiß, was ich damit tun soll (wir haben das nicht besprochen, anscheinend sollen wir uns das selber beibringen...). Ich vermute, ich muss f(t) einfach einsetzen, muss ich für beide Abschnitte der Funktion jeweils eine Transformation ausrechnen? Wie integriert man die komplexe e-funktion, einfach so oder schreibt man sie als sin und cos und integriert dann? oder noch anders? Bei wikipedia verstehe ich gar nichts, da werden zu viele andere sachen vorrausgesetzt, ich freue mich über tipps, schonmal vielen dank. mfG 20
07.01.2006, 23:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar, einsetzen, was sonst. Und wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ abschnittsweise definiert ist, hast du dann eben "abschnittsweise" Integrale, d.h., also Summe von Integralen über mehrere Intervalle. Von einem Übergang zu sin und cos ist abzuraten - eher umgekehrt, was z.B. deine Teilaufgabe b) betrifft, also über $\begin{eqnarray} \cos(\omega_0 t) = \cosh(i\omega_0 t) = \frac{1}{2} \left( e^{i\omega_0 t} + e^{-i\omega_0 t}\right) \end{eqnarray}$ . Grund dafür ist, dass sich $\begin{eqnarray} e^{\alpha t} \end{eqnarray}$ für beliebige komplexe $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ so schön einfach integrieren lässt - nach denselben Regeln, wie du sie für reelle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ kennst. Bei den Grenzen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ des zu berechnenden uneigentlichen Integrals musst du natürlich manchmal aufpassen - im vorliegenden Fall aber nicht, da deine Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur beschränkte Träger haben, also im Unendlichen Null sind.
07.01.2006, 23:32	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}}~Ae^{-i\omega t}~dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[\frac{A}{-i\omega}e^{-iwt}]_{0}^{\frac{\pi}{\omega}} =\frac{A}{\sqrt{2\pi}\cdot i\cdot \omega}-\frac{A}{\sqrt{2\pi}\cdot(-i\cdot \omega)}=\frac{2A}{\sqrt{2\pi}\cdot i\cdot \omega} \end{eqnarray}$ stimmt das für den ersten Teil der a)? mfg 20
07.01.2006, 23:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du doch aber den zweiten Abschnitt der Funktion vergessen - richtig ist $\begin{eqnarray} F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{\omega}}~Ae^{-i\omega t}~dt + \int_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}}~(-A)e^{-i\omega t}~dt\right] \end{eqnarray}$
07.01.2006, 23:36	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich hab erstmal nur den einen gemacht. dann ist die aufgabe ja ganz einfach mfG 20 edit: kommt dann $\begin{eqnarray} F(\omega)=\frac{4A}{\sqrt{2\pi}\cdot i\cdot \omega} \end{eqnarray}$ raus?
07.01.2006, 23:43	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte meinen edit beachten. mfG 20
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07.01.2006, 23:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt.
08.01.2006, 00:09	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\tau}^{\tau}~\frac{1}{2} \left( e^{i\omega_0 t} + e^{-i\omega_0 t}\right)e^{-i\omega t}~dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\tau}^{\tau}~\frac{1}{2} \left( e^{it(\omega_0-\omega)} + e^{-it(\omega_0+\omega)}\right)~dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\left[\frac{1}{i(\omega_0-\omega)} e^{it(\omega_0-\omega)}+\frac{1}{-i(\omega_0+\omega)} e^{-it(\omega_0+\omega)}\right]_{-\tau}^{\tau} \end{eqnarray}$ stimmt das soweit? ich frag lieber, bevor ich die grenzen einsetze... mfG 20 edit: oder ist $\begin{eqnarray} \omega_0 = \omega \end{eqnarray}$ (das fänd ich schöner )
08.01.2006, 00:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt für den Fall $\begin{eqnarray} \|\omega\|\neq\|\omega_0\| \end{eqnarray}$ . Die verbleibenden Spezialfälle musst du extra untersuchen. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hier eine gerade Funktion ist, muss die Fouriertransformierte reell sein - das ist eine kleine Rechenkontrolle.
08.01.2006, 00:32	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
für $\begin{eqnarray} \omega_0=\omega \end{eqnarray}$ komme ich auf folgendes ergebnis: $\begin{eqnarray} F(\omega)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\left(2\tau - \frac{1}{2i\omega}e^{-2i\tau\omega}+ \frac{1}{2i\omega}e^{2i\tau\omega}\right) \end{eqnarray}$ ist das richtig? Für das andere hab ich grad keine Nerven mehr, ist ja nur einsetzen... mfg 20
08.01.2006, 00:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bin ich jetzt auch zu müde... Auf alle Fälle kannst du dann rechts wieder $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ reinbringen, damit es auch schön reell aussieht.
08.01.2006, 01:11	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F(\omega)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\left(2\tau - \frac{1}{2i\omega}e^{-2i\tau\omega}+ \frac{1}{2i\omega}e^{2i\tau\omega}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\left(2\tau+\frac{1}{\omega} \sin{(2\tau\omega)}\right) \end{eqnarray}$ so richtig? (vorrausgesetzt, der Rest war richtig.) mfG 20
08.01.2006, 03:31	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das gleiche heraus.

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