Stetigkeit einer reellen Folge

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Master1709 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer reellen Folge
Guten Abend zusammen Augenzwinkern

Jede reelle Folge ist stetig. Wahr oder falsch? Was meint ihr?

Ich denke falsch ...

Begründung:

Man betrachte z.B.:



Außerdem das dritte Folgeglied (n = 3).

Jetzt existiert nicht, woraus folgt, dass die Folge nicht stetig ist.

Damit ist die Aussage widerlegt oder irre ich mich da jetzt komplett?

Vielen Dank im Voraus! Master Augenzwinkern
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

wie wärs, wenn du eure definition der stetigkeit mal hier hinschreibst...
mfG 20

edit: der limes existiert wohl, warum denkst du, dass er nicht existiert?
(er ist nämlich 1/3)
Master1709 Auf diesen Beitrag antworten »

20_Cent hat da natürlich recht, der Limes ist 1/3, habe mich unverständlich ausgedrückt ...

Worauf ich hinauswill: Beim Definitionsbereich der Folge, kann ich mich nicht beliebig nahe dem Wert 3 annähern, bei sähe das ja anders aus ...

Sry für die Schreibweise Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ob du dich da annähern kannst oder nicht, ist erstmal nicht so wichtig. Wichtig ist, wie eure Definition für Stetigkeit ist. Es gibt nämlich kleine Unterschiede in den verbreiteten Definitionen. Bei einer der zwei verbreitesten Definitionen sind Folgen stetig, bei der anderen nicht.

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Bei einer der zwei verbreitesten Definitionen sind Folgen stetig, bei der anderen nicht.

Also bei mir ist eine Folge eine Abbildung . Ob sie nun stetig ist, hängt von den Topologien in Definitions- und Wertebereich ab. Verwenden wir dazu die übliche Euklidische Metrik in beiden Mengen, dann ist jede Folge stetig - gleich ob konvergent oder nicht.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
Schön, dass du hier (wieder) mit Topologie kommst. Auch dir wird noch in Erinnerung sein, dass man Stetigkeit reeller Funktion anfangs nicht topologisch formuliert, sondern "elementar". Und da gibt es halt zwei relativ bekannte Definitionen. Wir hatten dazu desöfteren auch schon eine entsprechende Diskussion hier im Forum.

Gruß MSS
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich vergessen, in meinem Alter... Big Laugh
Aber Stetigkeit ist immer an Topologie gebunden. Wenn es also eine "andere" Stetigkeit von Folgen geben soll, dann muss das an einer anderen Topologie liegen, vermutlich auf . Stetigkeit zu definieren (wie auch immer), die sich auch nicht "nachträglich" durch sowas erklären lässt, ist natürlich wenig sinnvoll.

EDIT: Was meinst du denn mit dieser "anderen" Stetigkeit - ich hab wirklich keine Erinnerung mehr (Link her!).
Master1709 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definiton von uns wäre:

Gegeben sei eine Funktion f : D --> mit und . Die Funktion heißt stetig in , wenn zu jedem ein existiert, sodass für alle mit .
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich bin wohl übermüdet und hatte jetzt schon MSS statt Master1709 gelesen ... Beitrag gelöscht. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme Arthur zu: Wenn man mit der von induzierten euklidischen Topologie versieht (und etwas anderes ist wohl hier nicht gemeint), dann ist jede Abbildung zwangsläufig stetig. Eine Definition, die das nicht hergibt, taugt nicht. (Ich kann mir im übrigen auch nicht vorstellen, daß ein gängiges Lehrbuch solch eine falsche Definition gibt.)

Letztlich liegt das daran, daß ein diskreter Raum ist. Die einpunktigen Mengen (und damit alle Teilmengen) sind darin also offen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Master1709
Mit dieser Definition ist jede Folge stetig! Überlege selbst, warum. Versuche einfach, zu zeigen, was in der Definition steht.

@Arthur
Diese andere Definition sieht ganz ähnlich aus, aber eben nur ähnlich:

Eine Funktion () heißt stetig im Punkt , falls gilt:

.

Das ist daran angelegt, dass man bei Grenzwerten von Funktionen () auch nicht zulässt und dann für Stetigkeit fordert. Und die Links: 1., 2.. Ich hab mir die nochmal ein wenig durchgelesen. Letztendlich drehen sich die Diskussionen dort aber mehr um Grenzwerte als um Stetigkeit, wobei man das ja immer in Verbindung sehen kann. Augenzwinkern

Gruß MSS
Master1709 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, vielen Dank ... Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ MSS

Aber auch deine zweite Definition liefert doch die Stetigkeit der Folge. Denn im Fall folgt ja zwangsläufig , denn es ist ja .
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Letztendlich drehen sich die Diskussionen dort aber mehr um Grenzwerte als um Stetigkeit

Das wird's wohl sein, denn die Stetigkeitsdefinition unterscheidet sich in der Wirkung um keinen Deut von der üblichen! Ob du nun mit dazu nimmst oder nicht, ist vollkommen Wurst, da dort gilt, und das ist kleiner als jedes .
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Da habt ihr recht. Die Diskussion ist wohl zu lange her. Ich hätte die Threads nochmal lesen oder zumindest über die Definition nochmal nachdenken und sie nicht einfach hinschreiben sollen. Dort steht als zusätzliche Voraussetzung noch, dass ein Häufungspunkt von sein soll. Allerdings stimme ich euch zu, dass das dann wirklich unüblich ist.
Übrigens: Dass die Differenz der Funktionswerte für sein muss, brauche ich doch in meiner Definition gar nicht oder!? ist doch nach Definition aussagenlogisch äquivalent zu und im Falle ist es egal, wie es mit dem Wahrheitsgehalt von aussieht.

Gruß MSS
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