Dreiecksmatrix, invertierbar

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20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksmatrix, invertierbar
Hallo zusammen!

Zeigen Sie:

a) Ist ein Körper, dann ist eine obere (untere) Dreiecksmatrix

genau dann invertierbar, wenn ist für alle .

b) Ist eine invertierbare obere (untere) Dreiecksmatrix,

dann ist ebenfalls eine obere (untere) Dreiecksmatrix.


Ich hab mir folgendes dazu gedacht:
(Ich wiederhole grade meinen Stoff, hab also einige Fragen...)

Eine Matrix ist genau invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.
Ich weiß nicht, wie man die Determinante einer beliebigen nxn Matrix berechnet, also hab ich diesen Ansatz erstmal gelassen.

Stimmt es, dass die Matrix invertierbar ist, wenn ihr Rang gleich n ist?

Der Rang ist doch die Anzahl linear unabhängiger Spalten/Zeilenvektoren, oder?

Eigentlich ist es offensichtlich, dass, wenn alle einträge in der Diagonalen ungleich 0 sind, die spalten und zeilen vektoren linear unabhängig sind, oder muss ich das noch zeigen?

Dann wäre die a) ja schon gelöst Augenzwinkern

soweit erstmal.

mfG 20
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Eine Matrix ist genau invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.
Ich weiß nicht, wie man die Determinante einer beliebigen nxn Matrix berechnet, also hab ich diesen Ansatz erstmal gelassen.

kennst du den entwicklungssatz nach laplace? damit gehts fixeschnell.....

Zitat:
Stimmt es, dass die Matrix invertierbar ist, wenn ihr Rang gleich n ist?

(nxn-matrix)
dann: ja
"voller zeilen- bzw. spaltenrang"

Zitat:
Der Rang ist doch die Anzahl linear unabhängiger Spalten/Zeilenvektoren, oder?

korrekt

Zitat:
Eigentlich ist es offensichtlich, dass, wenn alle einträge in der Diagonalen ungleich 0 sind, die spalten und zeilen vektoren linear unabhängig sind, oder muss ich das noch zeigen?

pünktchenmatrix und dann vollständige induktion sollte das problem beseitigen
offensichtlich ist viel, zeigen aber leider oft unumgänglich


Zitat:
Dann wäre die a) ja schon gelöst

nit so voreilig, buah Augenzwinkern
bislang hast du damit dann aber nur "<=" gezeigt, was ist mit "=>" deiner äquivalenz?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksmatrix, invertierbar
Zitat:
Original von 20_Cent
Eine Matrix ist genau invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.
Ich weiß nicht, wie man die Determinante einer beliebigen nxn Matrix berechnet, also hab ich diesen Ansatz erstmal gelassen.


Die Determinante von einer Dreiecksmatrix berechnet sich speziell als Produkt der Diagonalelemente.
Und wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist, ist sie auch invertierbar.


Grüße Abakus
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

leider darf ich das nicht benutzen, hab übersehen, dass das im skript erst später kommt, und ich es nur vorher schonmal gelesen hab...
mfg 20
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