untervektorräume

08.01.2006, 16:16

20_Cent

untervektorräume

Die Menge der 1-dimensionalen Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} K^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} q = 5 \end{eqnarray*}$ .

Meine Überlegungen waren folgendes:

Ich muss alle Vektoren zählen, die einen 1-dim UVR aufspannen, dabei muss ich darauf achten, keinen zu zählen, der durch einen bereits gezählten darstellbar ist.

Leider weiß ich nicht, wie man das elegant macht, ich wäre erfreut über einen Tipp oder Ansatz.

mfG 20

08.01.2006, 16:20

therisen

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Hallo,
K soll wohl ein Körper sein, aber was ist q verwirrt

Gruß, therisen

08.01.2006, 16:23

20_Cent

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ich bin ein depp...

ich hab das vergessen:

Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der Elemente in den folgenden Mengen.

mfG 20

08.01.2006, 17:33

Mathespezialschüler

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Hallo!
Siehe hier. Es gibt (bis auf Isomorphie) nur einen 5-elementigen Körper. Dessen Elemente kannst du z.B. $\begin{eqnarray*} 0,1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ nennen. Dann funktioniert es ganz ähnlich wie im anderen Thread.

Gruß MSS

08.01.2006, 18:32

20_Cent

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Die Vektoren haben 3 Elemente.
Jeder Untervektorraum lässt sich durch einen Vektor erzeugen. Wenn zwei der Vektoren linear abhängig sind, dann entsteht der selbe Untervektorraum.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kann man für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ a als 1 wählen, da man durch multiplikation mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ immer einen vektor mit der ersten komponente =1 erhält.

$\begin{eqnarray*} (1\ b\ c)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1\ b'\ c')^T \end{eqnarray*}$ spannen nur den gleichen vektorraum auf, wenn b=b' und c=c' ist, da sie sich andernfalls nur trivial linear kombinieren lassen, also gibt es 5*5=25 möglichkeiten für diesen vektor.

Wenn a=0 ist, wählt man b=1, mit der selben begründung, dann ist c beliebig, ebenfalls die selbe begründung, also gibt es weitere 5 möglichkeiten.

Die letzt möglichkeit ist a=0, b=0 und c=1.

Insgesamt gibt es also 31 Möglichkeiten.

Für allgemeine q erhält man demnach folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} q^2+q+1. \end{eqnarray*}$

Für allgemeine $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ erhält man durch ähnliche überlegungen:

$\begin{eqnarray*} q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

mfG 20

edit: a=0 ergänzt.
edit2: allg. formel verbessert. danke jochen und max.

08.01.2006, 18:40

JochenX

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Zitat:

Original von 20_Cent
$\begin{eqnarray*} (1\ b\ c)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1\ b'\ c')^T \end{eqnarray*}$ spannen nur den gleichen vektorraum auf, wenn b=b' und c=c' ist, da sie sich andernfalls nur trivial linear kombinieren lassen, also gibt es 5*5=25 möglichkeiten für diesen vektor.

diesen teil würde ich noch etwas ausformulieren, oli.

Zitat:

Die letzt möglichkeit ist b=0 und c=1

sie ist a=b=0, c=1; a=0 nicht vergessen

ansonsten wäre es gut, wenn da noch mal jemand drüber schauen würde, der den beweis nicht entwickelt hat, und etwas zur veständlichkeit sagen würde.
sonst ist es klar, mir gefällt die formlierung "ähnliche überlegungen" etc......

smile

08.01.2006, 19:15

Mathespezialschüler

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Hallo Oli!
Das stimmt schon alles so. Am Ende ist ein kleiner Schreibfehler drin:

Zitat:

Original von 20_Cent
Für allgemeine $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ erhält man durch ähnliche überlegungen:

$\begin{eqnarray*} q^n+q^{n-1}+...+q+1 \end{eqnarray*}$

Das müsste

$\begin{eqnarray*} q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1 \end{eqnarray*}$

heißen, was man übrigens mit der geometrischen Summenformel zu

$\begin{eqnarray*} \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

vereinfachen könnte. Ich hab mir das etwas anders überlegt: Sei $\begin{eqnarray*} 0\neq u\in K^n \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist der durch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ aufgespannte 1-dimensionale Unterraum die Menge $\begin{eqnarray*} \langle u\rangle=\{ku\ |\ k\in K\} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Elemente hat, gilt das auch für den Unterraum (dieser hat also ebenfalls $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Elemente). Zwei 1-dimensionale Unterräume sind entweder gleich oder haben nur den Nullvektor gemeinsam! $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ hat genau $\begin{eqnarray*} q^n-1 \end{eqnarray*}$ Vektoren, die $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind. Jeder dieser Vektoren spannt einen 1-dimensionalen Unterraum auf. Da jeder dieser Vektoren in genau einem dieser Unterräume liegt und jeder Unterraum $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Elemente hat, haben wir jeden Unterraum $\begin{eqnarray*} (q-1) \end{eqnarray*}$ -mal gezählt (in jedem Unterraum liegt auch der Nullvektor). Insgesamt erhalten wir für die Anzahl der 1-dimensionalen Unterräume die Zahl

$\begin{eqnarray*} \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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