alternierende harmonische Reihe

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Fermat Auf diesen Beitrag antworten »
alternierende harmonische Reihe
wie kann ich den grenzwert folgender reihe bestimmen?

ich hab leider keine idee
ich weiß dass

daraus kann man dann auch folgendes berechnen


aber auf obere summe komm ich nicht kann man das auch so ähnlich machen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Die Reihen sind alle divergent, wenn du unten nicht durch ersetzt!
Der Reihenwert ist . Dies erkennt man z.B. aus der Potenzreihedarstellung der -Funktion für :

.

Gruß MSS
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Fermat,

ich glaube, das sieht schlecht aus mit dem Bestimmen des Reihenwertes.


EDIT: Ok, geht doch, hatte mich vertippt Augenzwinkern


Gruß, therisen
Fermat Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke
das mit k und n hab ich mich vertan
weil beim editor als vorlage ein k ist und bei mir n und dann kam das wohl durcheinander danke für eure antworten
diese eine reihe die gegen ln2 bekommt, bekommt man ja über die taylorreihe der natürlichen logarithmusfunktion
und diese anscheinend über arctan
wenn ich jetzt zum beispiel die funktion f(x)=arctan(x)
entwickeln müsste dann könnte ich das aber in diesem fall ist das umgekehrt. gibt es eine methode wie man das rausfinden kann.
ich hatte jetzt zum beispiel die potenzreihe der arcusfunktionen nicht im kopf, aber ich hatte vermutet, dass es etwas mit den arcfunktionen zu tun hat, weil mein pc-programm hatte auch pi/4 raus und solche ausdrücke kommen in der regel bei arcusfunktionen raus. das hatte ich vermutet. Allerdings erst kurz nachdem ich den beitrag gepostet hab.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fermat
wenn ich jetzt zum beispiel die funktion f(x)=arctan(x)
entwickeln müsste dann könnte ich das aber in diesem fall ist das umgekehrt. gibt es eine methode wie man das rausfinden kann.

Der erste Satz ist vom Satzbau und vom Inhalt nicht verständlich. Suchst du eine Methode, die Potenzreihedarstellung des herzuleiten?

Gruß MSS
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So soll es wohl heißen:

Wenn ich jetzt zum Beispiel die Funktion f(x) = arctan(x) entwickeln müßte, dann könnte ich das. Aber in diesem Fall ist das umgekehrt. Gibt es eine Methode, wie man das herausfinden kann?

Was ein paar Kommas, Punkte und Fragezeichen da gleich ausrichten. Ich habe es zuerst nämlich auch nicht verstanden.
Fermat meint wohl: Wie erkennt man, daß die gegebene Reihe ein Spezialwert der Arcustangens-Funktion ist?
 
 
Fermat Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß wie man die potenzreihendarstellung herleitet
Ich meine wenn ich die potenzreihendarstellung kenne und nicht weiß dass dies die vom arctan ist
wie ich dann darauf komme

EDIT
ja danke genauso meinte ich das
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Erfahrung, Erfahrung, Erfahrung, ...
Übung, Übung, Übung, ...

Das ist es wohl, worauf es ankommt. Mit der Zeit sollte man ein paar oft vorkommende Potenzreihen auswendig wissen. Insbesondere auf die Koeffizienten kommt es an:



Und hier fällt ja auf, daß gerade die ungeraden Zahlen sind, so wie sie bei der Arcustangensreihe vorkommen. Deshalb lohnt sich ein Versuch damit.

Versuche einmal, den Reihenwert



herauszubekommen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das weiß man oder eben nicht, wie Leopold sagt: Erfahrung und Übung. Augenzwinkern
Man kann Potenzreihedarstellungen für einige Funktionen nun einmal aus bekannten anderen Darstellungen herleiten. Das heißt aber nicht, dass man für jede Potenzreihe gleich auch eine Verknüpfung von elementaren Funktionen findet, die mit der Potenzreihe identisch sind.
In diesem Fall z.B. benutzt man die Tatsache, dass Potenzreihen gliedweise integriert werden dürfen. Die Ableitung des kennt man. Sei , dann gilt also

.

Die rechte Seite kann man leicht in eine Potenzreihe entwickeln, denn es gilt nach der Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe für :



Du hast also



Integration bringt:



mit einer Konstanten . Da ist, folgt , also:

.

Dies gilt für alle mit . Dass die Gleichung auch noch für gilt, zeigt der Abelsche Grenzwertsatz.

Gruß MSS
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