Stetigkeit von Funktionen

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08.01.2006, 20:46	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Funktionen In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen mit $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ unstetig? $\begin{eqnarray} f(x)=[x] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} [x]<x\leq[x]+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)=\{ 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ irrational und $\begin{eqnarray} \{0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ rational
08.01.2006, 20:50	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
und dein ansatz war ?
08.01.2006, 20:53	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann schon leider überhaupt nichts mit der Bildungsvorschrift der Funktion anfangen! Hab ich vergessen (dürfte die Sache auch leichter machen): Bei der ersten Funktion gilt $\begin{eqnarray} [x]\in\mathbb Z \end{eqnarray}$
09.01.2006, 01:12	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim ersten überlege dir erstmal, dass [x] zu vorgegebenen x damit eindeutig festgelegt ist (nämlich wie?) - sonst wäre die Funktion erst garnicht (wohl)definiert. Und dann untersuche die Stetigkeit für ganzzahliges bzw. nichtganzzahliges x, indem du entsprechende Folgen betrachtest (also über 'Folgenstetigkeit'). Beim zweiten benutze : In jedem Intervall, das mehr als einen Punkt umfasst, liegen jeweils unendlich viele rationale und irrationale Zahlen und überlege, was das für das Konvergenzverhalten von Folgen $\begin{eqnarray} (f(x_n)) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine gegen x konvergente Folge sei, bedeutet.
09.01.2006, 21:27	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich zu der ersten Funktion (Größte-Ganze-Funktion) nicht einfach schreiben: unstetig $\begin{eqnarray} \forall x\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ , da an diesen Stellen der rechtsseitige Grenzwert ungleich dem Funktionswert (bzw. dem linksseitigen Grenzwert) ist?
09.01.2006, 22:27	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, du müsstest dann aber noch dazuschreiben, dass sie sonst stetig ist.
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10.01.2006, 00:09	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Bei der zweiten Funk. sagt mir mein gesunder Menschenverstand, dass sie unstetig sein muss. Denn ich kann doch zwischen jede rationale Z. noch mind. eine irrationale stecken, oder?
10.01.2006, 00:53	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Präziser : Die Grenzwerte $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray}$ existieren für alle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ erst garnicht, da es in jeder Epsilon-Umgebung von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ noch rationale und irrationale Zahlen gibt (also auch Funktionswerte, die sich um 1 von einander unterscheiden).
10.01.2006, 00:59	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
So kann man das natürlich auch sagen - und darum ist die Funktion in ALLEN Punkten unstetig.
10.01.2006, 13:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@4c1d Naja, präziser würde ich das nicht nennen, eher im Gegenteil. Der Grenzwert ist ja auch durch das $\begin{eqnarray} \varepsilon\text{-}\delta \end{eqnarray}$ -Kriterium charakterisiert und wenn man dieses hier anwendet, ist el_stundetes Aussage genau das richtige Argument, wobei es natürlich etwas komisch formuliert ist. Besser sollte man das sagen: In jeder Umgebung einer rationalen (irrationalen) Zahl liegt immer auch eine irrationale (rationale) Zahl. Gruß MSS

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