Funktions-Berechnung

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Funktions-Berechnung
Hi

Also ich habe ein Problem damit aus einem gegebenen
Text eine Funktion zu Bilden. Ich habe ein paar Grundkenntnisse
und bin nicht ganz unwissend aber bitte fragt mich nicht
biss wo ich komme oder wo ich scheitere und was ich überhaupt weis.

Versucht einfach mir zu Helfen soweit ihr könnt und gebt mir Tipps und erklärungen...
es ist wirklich wichtig also bitte ...

1.0 ) Eine ganzrationale Funktion 5. Gerades ist symmetrisch zum Ursprung.
Sie hat dort die Gerade y=2x als Wendetangente. Sie berührt ferner die x-Achse bei Xo= - 2.

Also der erste Weg ist natürlich die "Funktion" zu bilden das wäre dann
F(x) = a*x^5 + b*x^3 + c*x + d
da die Funktion Punktsymmetrisch ist und 5,Gerades ist gibt halt an ab 5 und nur ungerade zahlen als Potenzen...
dan Punktsymmetrisch... aber das habe ich ja schon gesagt so . Nun benötige ich
3 bzw. 4 Gleichungen um dann halt per Einsetztverfahren die einzelnen Variablen zu berrechnen.
und bitte nur Kommentare die mir helfen keine Diskussion über Rechtschreibung oder so. Tanzen
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktions-Berechnung
Da deine Funktion punktsysmmetrisch zum Ursprung sein muss, gibt es - wie du richtig formuliert hast - nur ungerade Potenzen im Funktionsterm. Dies bedeutet aber dass für F(x)=ax^5+bx^3+cx a,b und c zu bestimmen ist. d muss auch Null sein

Nun folgen die Bedingungen, die man nun noch ausnutzen muss:
* Wenn F beim Ursprung eine Wendetangente haben soll, so muss der Graph auch durch (0/0) gehen, also F(0)=0
* Wenn F beim Ursprung eine Wendetangente haben soll, so muss bei x= 0 ein Wendepunkt vorliegen, d.h. F''(0) = 0
* Wenn F bei x=-2 die x-Achse berührt, dann muss F(-2) =0 sein.
* Wenn F bei x=-2 die x-Achse berührt, dann muss F bei -2 einen Extremwert besitzen, da sonst dort ein Schnittpunkt vorliegt, also F'(-2)=0

Dies sind nun schon vier Bedingungen für drei gesuchte Parameter - hoffentlich ist das Ganze in sich stimmig und nicht "überbestimmt" Augenzwinkern

Happy Mathing
user Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktions-Berechnung
Danke für dein Beitrag ich rechne gleich mal smile )
user Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktions-Berechnung
So, komm ich nun zu mein zweiten Problem:

1.0)
Eine Ganz rationale Funktion 3. Gerades, deren Graph durch den Ursprung geht und dort eine Steigung von +10 hat, hat in P(1/2)
eine Tangente, die die X-Achse bei Xp = +2 schneidet.

Also ich verstehe bzw. kann alle Informationen verwenden und habe bisher auch 3 Gleichungen hinbekommen nur mit dem Satz
"hat in P(1/2) eine Tangente, die die X-Achse bei Xp = +2 schneidet"
komme ich nicht weiter. Ich weis zwar das die Tangente eine Gerade ist die, die Funktion in einem Punkt behührt mehr aber auch nicht. Was kann ich aus diesem satz herausbekommen bzw. berechnen?

Hilfe bitte schnell.... geschockt
orie Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Punkt der Tangente durch den Punkt P(1;2) ist natürlich eben dieser Punkt. Gleichzeitig soll die Tangente noch durch den Punkt P2(2;0) gehn.(Schnittpunkt mit der x-Achse an der Stelle2 lt. Aufgabe). Daraus kannst du nun die Steigung der Tangenten berechnen und hast somit f'(1).
Gleichzeitig hast du f(x)=ax^3+bx^2+cx+d => f'(x)=3ax^2+2bx+c, also f'(1)=3a+2b+c. Gleichsetzen mit dem vorher berechneten Wert liefert eine Gleichung fürs Gleichungssystem.
user Auf diesen Beitrag antworten »

wieso wurde mit angegeben das die Tangente durch P2(2/0) geht
die Steigung kann ich doch auch so berechnen indem ich weis das sie durch P1(1/2) geht oder nicht ?!

und was meinst du mit Gleichsetzten mit dem vorher berechneten Wert ? verwirrt
 
 
orie Auf diesen Beitrag antworten »

du hast doch selbst geschrieben, dass die tangente die x-achse an der stelle 2 schneidet, also im punkt P(2;0).

für die steigung benötigst du in diesem fall zwei punkte der tangenten.
m=dy/dx

also m =(0-2)/(2-1) =-2/1 =-2

das ist also die steigung der tangenten an der stelle 1, also die erste ableitung der funktion an der stelle 1: f'(1)

nun kannst du gleichzeitig von einer anderen seite rangehn.

die funktion f muss die form f(x)=ax^3+bx^2+cx+d haben.

die leitest du jetzt streng nach vorschrift ab und erhälst somit:

f'(x)=3ax^2+2bx+c

setzt du jetzt für x 1 ein: f'(1)=3a+2b+c

f'(1) hast du aber weiter oben schon berechnet und zwar als f'(1)=-2

daraus folgt: 3a+2b+c=-2

damit hast du eine gleichung für dein gleichungssystem, das du brauchst um alle 4 koeffizienten zu finden.

da der graph der funktion durch den ursprung gehen muss (aufgabe), weisst du:

f(0)=a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d=d=0

d fällt also weg, du brauchst nurnoch a, b, c

desweiteren weisst du, dass f an der stelle 0 die steigung 10 hat, also
f'(0)=10

<=> 3a(0)^2+2b(0)+c=10
<=> c=10

außerdem kennst du noch einen punkt der funktion P(1;2)

=> f(1)=2
=> a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d=2
=> a+b+c+d=2

|c=10
|d=0
|a+b+c+d=2
|3a+2b+c=-2 (s.o.)

|c=10
|d=0
|a+b=-8
|3a+2b=-12

|c=10
|d=0
|-a=-4 =>a=4
|b=-12

=> f(x)=4x^3-12x^2+10x

klingt vllt sehr konfus, kommt aber hin Augenzwinkern
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