Fixpunkt(iteration)/Newtonverfahren

13.05.2008, 16:07	drehamrad	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt(iteration)/Newtonverfahren Hallo! Ich kämpfe mich seit Stunden durch ein Skript und durch's Internet, werde aber nicht schlauer. Mittlerweile weiß ich nur was ein Fixpunkt ist und das es eine Fixpunktiteration gibt um Nullstellen zu finden und das das Newtonverfahren eine spezielle Variante davon ist, die im idealfall quadratisch sein soll während der Bisektionsalgorithmus linear ist. Was mir wirklich sehr sehr viel weiterhelfen würde, wäre ein einfaches Beispiel: Ich hab die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^3+x-3 \end{eqnarray}$ Fixpunkt ist: $\begin{eqnarray} x=x^3+x-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x^3-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^3=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\sqrt[3]{3} \end{eqnarray}$ Wie funktioniert nun das Fixpunktverfahren bzw. das Newtonverfahren. Brauche ich den Fixpunkt jetzt überhaupt? Würde mir jemand anhand meiner Funktion kurz illustrieren wie die allgemeine Vorgehensweise ist ? Danke....
13.05.2008, 16:45	H4wk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Wenn dich nur die allgemeine Funktionsweise interessiert und du es illustriert haben willst gibt es bei Wikipedia ein Applet. http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren
13.05.2008, 19:24	drehamrad	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh's immer noch nicht ganz, aber die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/newton.htm hat schonmal geholfen. Sagt mal bitte ob meine folgenden Gedanken richtig sind. Ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=x^3+x-3 \end{eqnarray}$ . Jetzt möchte ich die Fixpunkte bestimmen (wozu auch immer), d.h. ich stelle folgende Gleichung auf: $\begin{eqnarray} x=x^3+x-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x^3-3 \end{eqnarray}$ Das kann ich auch anders ausdrücken, nämlich so wie es in den Definitionen immer getan wird: $\begin{eqnarray} f(x)=x-g(x)=-x^3+3 \end{eqnarray}$ Die Nullstellen von f(x) sind also die Fixpunkte von g(x). Natürlich könnte ich jetzt algebraisch auflösen, weil's hier möglich ist. Das ist es aber oftmals nicht, also behilft man sich dann z.b. mit dem Bisektionsalgorithmus, dem Newtonverfahren oder der Fixpunktiteration. Bisektion und Newtonverfahren sind mir jetzt klar. Nur wie lautet in diesem Fall meine Folge für die Fixpunktiteration die mir am Ende den, hier einzigen, Fixpunkt liefer?! Sind meine Überlegungen soweit richtig?!
13.05.2008, 19:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deine Überlegungen sind erstmal richtig. Für die Gleichung $\begin{eqnarray} x=g(x) \end{eqnarray}$ ist die zugehörige Fixpunktfolge immer die Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ als beliebigem Startwert (der zumindest im Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ liegen sollte) und $\begin{eqnarray} x_{n+1}=g(x_n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 0 \end{eqnarray}$ . In deinem Fall bedeutet das: $\begin{eqnarray} x_{n+1}=-x_n^3+3 \end{eqnarray}$ . (Im Übrigen sollte der Bildbereich von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ eine Teilmenge des Definitionsbereichs von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sein. Das ist natürlich für Funktionen $\begin{eqnarray} g:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ immer der Fall. Wenn man aber wirklich hinreichende Kriterien für die Konvergenz haben möchte, muss man sich meistens eh auf ein Intervall beschränken und auch da muss $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ weiterhin selbstabbildend sein.)

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