Rang, Kern, Bild: Worum geht es da? |
| 13.05.2008, 18:40 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Rang, Kern, Bild: Worum geht es da? mit Vektorräumen und Matrizen bin ich ganz gut durch, ab morgen befasse ich mich mit linearen Abbildungen, Rang, Kern und Bild. Ich komme da noch durcheinander, ich bekomme das nicht in den Gesamtzusammenhang eingeordnet. Als dann zudem auch noch lineare Unabhängigkeit von Spaltenvektoren ins Spiel kam, war ich erstmal vollends verwirrt in dem ganzen Vektor- und Matrizengeflecht. Kann mir mal jemand helfen, das einzusortieren? - Lineare Abbildungen -, was kann allgemein abgebildet werden? Vektoren sicher. Matrizen? Bzgl. Vektoren, da wäre wohl ein einfaches Beispiel, den Vektorraum R³ mittels irgendeiner Abbildungsvorschrift nach R² abzubilden. Homomorphismus ist hier sicher auch eingeordnet und auch, wie bei Abbildungen üblich, sind auch Injektivität/Surjektivität und Bijektivität ein Thema? - Kern - Aus diesem Bereich "lineare Abbildungen" kommt sicher auch der Kern, oder? So wie ich das verstanden habe, ist das die Menge der Elemente einer lin. Abbildung, die auf das neutrale Element abbilden? Bspw. sei die Abbildung A, R³->R², A: (x,y,z)->(x,y). Dann würden also alle (0,0,z) auf das neutrale Element der Bildmenge abgebildet - Wäre das dann der Kern? - Rang - Kommt das nicht in dem Zusammenhang "Lösbarkeit LGS"? Nach Anwendung von Gauss in der Koeffizientenmatrix kann man doch den Rang abzählen und daraus entscheiden, ob 0, 1 oder unendlich Lösungen. - Bild - Das ist jetzt nicht nur die Bildmenge einer Linearen Abbildung, oder? Ich erwarte natürlich keine ausführlichen Erklärungen, mir würde es schon helfen, wenn jemand sagt, inwiefern ich richtig oder falsch liege. Danke Micha |
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| 13.05.2008, 18:48 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu den linearen Abbildungen: Es wird zwischen Vektorräumen abgebildet. Also können nur Vektoren (allerdings sind dies nicht nur die Vektoren aus dem ) abgebildet werden. Zum Kern: Da liegst du richtig. Der Kern wäre bei diesem Beispiel die Menge Zum Rang: Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension des Bildes. Wenn man die zur linearen Abbildung gehörende Matrix hat, so ist der Rang gerade die Anzahl der linear unabhängigen Spalten(Zeilen-)vektoren der Matrix. Beim Bild liegst du richtig. Das ist die Menge aller Vektoren, auf die die Abbildung irgendeinen Vektor des Urbildvektorraums abbildet. |
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| 13.05.2008, 19:06 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Klar, R(n) war nur ein griffiges Beispiel, die allgem. Vektorraumaxiome kenne ich spätestens nach einer Auffrischung wieder 
Oh, danke für die Antwort. Matrixdarstellung einer linearen Abbildung muß ich mir dringend ansehen. Das heißt, der Rang der von mir genannten Abbildung ist dann die Dimension des Bildes, also in diesem Fall 2? Dimension ist ja die minimale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die eine Basis bilden. Aha, und weiter, man betreibt das ganze also, um ein paar Daten und Fakten einer linearen Abbildung zusammenzutragen. Mit besonderem Blick wahrscheinlich auf das Nullelement. |
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| 14.05.2008, 00:26 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Dimension ist ja die minimale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die eine Basis bilden." Naja das minimal kannst du weglassen da es bei Vektorräumen nur eine maximale linear unabhängige Anzahl geben kann und diese dann eine Basis bilden. Diese Anzahl wird dann die Dimension genannt. Das ist nicht selbstverständlich, es gibt Strukturen in denen das nicht der Fall ist wie ein Modul(im Prinzip ein Vektorraum bloß ist die Skalarmult. aus einem Ring und nicht einem Vektorraum). Ja das Bild und der Kern sind wichtige Informationen über eine lineare Abbildung. So ist z.B. die Dimension des Ausgangsraums gleich der Dimension des Kerns + der Dimension des Bildes. Oder man kann sie für den Homomorphiesatz gebrauchen usw. Der Kern ist auch wichtig den eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. Bei endlicher Dimension folgt dann sogar bijektiv 
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