Linearkombination

13.05.2008, 19:50	Delgado	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination Hallo zusammen,arbeite zurzeit am Thema Vektoren. Also bislang hatte ich keine Schwierigkeiten, habe mittlerweile die Addition,Subtraktion,Multiplikation durchgearbeitet. Nun treffe ich aber auf die Linearkombination und ich werde aus meinem Schulbuch nicht schlau. Im weiteren Verlauf habe ich festgestellt, dass linearer Abhängigkeit und Unabhängigkeit es wichtig ist, erstmal verstanden zu haben was eine Linearkombination ist und dies ist nun mein Problem zurzeit. Was verstehe ich unter einer Linearkombination? Was sagt die Linearkombination mir? Wäre wirklich nett,wenn mir jemand helfen möchte =)
13.05.2008, 20:30	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf das Thema "Vektoren" bezogen versteht man unter der Linearkombination eines Vektors v die Summe aus Vielfachen von anderen Vektoren. Das bedeutet, dass man diesen Vektor v durch eine geschlossene Vektorkette mit Hilfe von Verlängerungen oder Verkürzungen (oder auch Orientierungsänderungen durch negative Vielfache) aus den anderen Vektoren darstellen kann. Beispiel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} =3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -2\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +5\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier habe ich den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch eine Linearkombination aus den (Basis)Einheitsvektoren des R³ dargestellt. Gruß Björn
13.05.2008, 20:39	Delgado	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir Björn, gutes Beispiel. Also ist eine Linearkombination nichts anderes als die Darstellung eines Vektors durch die Summe aus Vielfachen von anderen Vektoren. Danke für die sehr gute Erklärung,damit dürfte ich nun wohl weiter arbeiten können
13.05.2008, 20:43	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich dass ich helfen konnte
13.05.2008, 21:23	darukka	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die gute Einführung ins Thema, aber wie geht man vor um die Linearkombination zu erhalten? Ich habe die folgende Aufgabe: u = (r * x) + (s * y) + (t * z) Wie gehe ich da vor? Ich habe irgendwas von einem linearen Gleichungssystem gelesen. Aber ich habe keine Ahnung wie das funktionieren soll....
13.05.2008, 21:37	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal, dass $\begin{eqnarray} x,y,z,u\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ Vektoren sein sollen. Nun jeder dieser Vektoren hat drei Koordinaten, also $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=(y_1,y_2,y_3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=(z_1,z_2,z_3) \end{eqnarray}$ genauso. Was passiert nun wenn man die Vektoren mit Zahlen $\begin{eqnarray} r,s,t \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ multipliziert? $\begin{eqnarray} rx+sy+tz=r(x_1,x_2,x_3)+s(y_1,y_2,y_3)+t(z_1,z_2,z_3) \end{eqnarray}$ Dieses ist nach Definition aber gleich wie $\begin{eqnarray} (rx_1,rx_2,rx_3)+(sy_1,sy_2,sy_3)+(tz_1,tz_2,tz_3) \end{eqnarray}$ Nun diese Summe soll aber gleich sein wie ein vorgegebener Vektor $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ , das heisst $\begin{eqnarray} (rx_1,rx_2,rx_3)+(sy_1,sy_2,sy_3)+(tz_1,tz_2,tz_3)=(u_1,u_2,u_3) \end{eqnarray}$ Dies kann man nun als drei lineare Gleichungen schreiben (eben ein lineares Gleichungssystem): $\begin{eqnarray} rx_1+sy_1+tz_1=u_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} rx_2+sy_2+tz_2=u_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} rx_3+sy_3+tz_3=u_3 \end{eqnarray}$ Da die Vektoren $\begin{eqnarray} u,x,y,z \end{eqnarray}$ bekannt sind, kann man dieses LGS nun mit dem Gaussverfahren lösen.
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