Stetigkeit, Monotonie, Beschränktheit |
| 13.05.2008, 22:01 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stetigkeit, Monotonie, Beschränktheit Ich soll zur Übung einige Funktionen auf Beschränktheit, Monotonie und Stetigkeit untersuchen. Wie so oft sind mir die Ergebnisse klar, jedoch habe ich Mühe sie genauer zu begründen: Hier habe ich folgendermassen überlegt: - Die Funktion kann nicht beschränkt sein, weil sie aus einer konstanten Funktion sowie der Identität zusammengesetzt ist und letzere nicht beschränkt ist. - Die Funktion ist monoton, da die Identität monoton ist und der Summand +1 nur zu einer Parallelverschiebung des Graphen führt. - Die Funktion ist stetig auf R; aus dem gleichen Grund wie sie monoton ist. Für die Monotonie könnte ich alternativ auch so argumentieren: wenn a < b ist, ist -a > -b und somit 1-a>1-b für alle a und b, also ist sie monoton fallend. Für die Stetigkeit habe ich keine "Ersatzbegründung" auf Lager. Zweite Funktion: Monotonie: Ich habe mir überlegt, dass für alle 1=<a<b auch a^3<b^3 und somit auch g(a)<g(b) gelten muss. Für alle a<b<0 gilt ebenfalls a^3<b^3, genauso für alle 0=<a<b<1. Also ist die Funktion monoton wachsend. Beschränktheit: Angenommen es gäbe ein S<=g(x), dann wäre ja auch 1/s>=1/g(x) und somit auch 3/s>=27-x^3, was der Unbeschränktheit von R widerspräche. Gleichermassen kann ich die Existenz einer unteren Schranke widerlegen. Stetigkeit: Hier habe ich absolut keine Ahnung, was ich tun soll. Für Tipps und Bemerkungen bin ich -- wie immer -- sehr dankbar. |
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| 13.05.2008, 22:11 | Rare676 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau dir doch für die Monotonie mal die Ableitung an 
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| 13.05.2008, 22:15 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das würde ich ja gerne machen, aber ich nehme mal an, dass ich das nicht darf, da die Differentialrechnung erst in einem späteren Kapitel drankommt. Ich gehe davon aus, dass nur die bereits behandelten (= selbst bewiesenen/erarbeiteten) Dinge verwendet werden dürfen. |
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| 14.05.2008, 14:44 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stetigkeit, Monotonie, Beschränktheit Ich habe jetzt versucht anders zu überlegen, was die Stetigkeit angeht: Die Funktion f(x):=x ist ja stetig; also ist auch f(x):=x^3 stetig, weil sie das Produkt von stetigen Funktionen ist. Die Konstante Funktion 27 ist stetig, also ist auch die Nennerfunktion 27-x^3 stetig, weil das die Summe aus stetigen Funktionen ist. Der Quotient aus zwei stetigen Funktionen ist ebenfalls stetig, somit ist der ganze Bruch stetig. Darf man das so schreiben? |
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| 14.05.2008, 17:29 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Stetigkeit, Monotonie, Beschränktheit
Das stimmt so nicht. |
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| 14.05.2008, 18:44 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stetigkeit, Monotonie, Beschränktheit Au ja, da habe ich mich ungenau ausgedrückt... Der Quotient aus zwei *solchen* stetigen Funktionen (Polynomfunktionen und Nenner!=Nullfunktion) ist ebenfalls stetig. Besser? |
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| 14.05.2008, 21:52 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fast. Ist überall stetig, an denen die Nennerfunktion nicht verschwindet. [Die Nullfunktion darf im Nenner sowieso nicht stehen, denn die Nullfunktion ist diejenige konstante Funktion, die alles auf Null abbildet] |
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| 14.05.2008, 22:09 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn der Nenner verschwindet, ist die Funktion idR undefiniert. Und an undefinierten Stellen macht eine Stetigkeitsfrage keinen Sinn. Die Funktion kann trotz allem also stetig sein. air |
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| 14.05.2008, 22:43 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wollte eigentlich nur erreichen, dass er auf das noch etwas eingeht. |
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