Metrik

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik
Hi...

es sei eine Metrik d auf M gegeben.

ich soll zeigen, dass dann auch

eine Metrik ist.

Ich komme aber beim Beweis der Dreiecksungleichung nicht weiter... - ich wollte irgendwie abschätzen, aber wenn ich den Zähler abschätze, habe ich schon überschätzt.

also ich müsste doch zeigen, dass:

ist mit der Vorraussetzung, dass



ist.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das ist zu zeigen.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrik
Zeige, dass streng monoton ist.


Grüße Abakus smile
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann ich das dann auf mein Problem ummünzen? - wir haben leider noch keine Funktionen - geht das nicht auch nur mit den gegebenen Vorraussetzungen und Umformungen?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
... wir haben leider noch keine Funktionen ...


Eine Metrik d ist eine Funktion, mit Big Laugh
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn du das gezeigt hast, dann folgt das, was du zeigen sollst, daraus. Wie das funktioniert, siehst du dann. Erstmal solltest du aber die Monotonie nachweisen. Ihr hattet sicher schon Funktionen. Vielleicht meinst du ja, dass ihr noch keine Ableitungen etc. hattet!? Hier geht es auch ohne Differentialrechnung. Wenn es dir lieber ist, kannst du es sogar ohne den Gebrauch irgendeiner Funktion formulieren, z.B. so:
Sei , dann gilt:

.

Das zu zeigen, ist nicht schwer. smile

Gruß MSS
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Eine streng monoton steigende Funktion erhält Ungleichungen. Du könntest zB mal deine Dreiecksungleichung für die Metrik d in die Funktion f einsetzen und dir das Ergebnis anschauen.

(Wie geht das: Ihr macht metrische Räume, kennt aber noch keine reellen Funktionen?)

So unmittelbar sehe ich nicht, wie es direkt mit Umformungen gezeigt werden könnte.


Grüße Abakus
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
So unmittelbar sehe ich nicht, wie es direkt mit Umformungen gezeigt werden könnte.

Das wundert mich. Ganz einfache Umformung zeigen, dass für gilt:

.

Gruß MSS
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Gemeint war die Dreiecksungleichung für die Metrik . geschockt Die Monotonie lässt sich sicher so zeigen oder so sehen:



Grüße Abakus smile
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ok, werd ich mal versuchen...

wir haben noch Reihen mit metrischen Räumen und Topologien angefangen und ich glaube er möchte damit zeigen, wie weit der Begriff von Folgen, Konvergenz usw. ausgedehnt werden kann.

im Endeffekt sind wir aber Vorlesungstechnisch nicht weiter als Folgen und Reihen gekommen...
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

danke Abakus - dein Tipp war genau das was ich gebraucht habe:






und das gilt nach Vorraussetzung, weil d eine Metrik ist... - geil!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

So geht das aber nicht! Wenn du schon den Kehrwert nimmst, dann bitte von der ganzen rechten Seite und nicht jeden Bruch einzeln! Außerdem sollte man direkt abschätzen. Die Abschätzung muss dann natürlich etwas anders aussehen.

Gruß MSS
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

*traum zerstört*

ich versuchs nochmal...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also, einen Anfang kann ich ja mal geben. Ich hoffe, du hast die obige Ungleichung



bewiesen für ?! Es gilt ja für beliebige :

.

Daraus folgt also mit der Ungleichung:

.

Kommst du damit weiter?

Gruß MSS
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

der Einfachheit halber setze: a = d(x,z) / b = d(x,y) und c = d(y,z)

für gilt:



das gilt alles weil a,b,c größer gleich Null sind...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, jetzt ist es richtig. Freude

Gruß MSS
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