kompakt

10.01.2006, 11:29

mcsuperstar

kompakt

Seien K,L Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ .Zeigen sie

a) $\begin{eqnarray*} K\times L:=\{(x_1,...,x_n,y_1,...y_n)\in\mathbb R^n\text{ mit der Eigenschaft }(x_1,...,x_n)\in K\text{ und }(y_1,...,y_n)\in L\}\subset\mathbb R^{2n} \end{eqnarray*}$ ist kompakt

b) $\begin{eqnarray*} K+L=\{x+y\text{ mit der Eigenschaft }x\in K\text{ und }y\in L\}\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist kompakt: Hinweis: Verwenden sie die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \gamma :\mathbb R^{2n}\to\mathbb R^n, \qquad (x_1,...,x_n,y_1,...,y_n)\to (x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n) \end{eqnarray*}$

kann mir da wer helfen?Danke

edit: Ich hab mir erlaubt, den Latex-Code mal etwas schöner darzustellen. Augenzwinkern

(MSS)

10.01.2006, 11:42

Dual Space

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RE: kompakt
Besitzen denn K und L noch irgendwelche bekannten Eigenschaften?

10.01.2006, 13:34

mcsuperstar

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RE: kompakt
ja natürlich, das hab ich vergessen: K und L sind kompakt
ein sehr wichtiger Hinweis für die Aufgabe!

10.01.2006, 13:37

Abakus

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RE: kompakt
Die Frage ist, wie ihr Kompaktheit definiert habt und welche Äquivalenzen und Sätze ihr dazu benutzen könnt.
Dann wäre klar, was gezeigt werden muss (Totale Beschränktheit und Abgeschlossenheit oder Überdeckungseigenschaft oder ...?).

Grüße Abakus smile

10.01.2006, 13:38

Dual Space

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Erstmal sollte dir klar sein, was Kompaktheit endlichdimensionaler Räume bedeutet. Wenn du das weißt, weißt du auch welche zwei Eigenschaften du nachweisen musst.

Edit: Zu langsam ... Schläfer

10.01.2006, 13:45

mcsuperstar

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Ich denk mal ich muss Abgeschlossenheit und Beschränktheit nachweisen! Das hab ich mir schon gedacht! aber ich steh im moment voll am schlauch und weiß nicht wie ich genau anfangen soll!

10.01.2006, 13:50

Dual Space

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Was ist denn ganz allgemein zu tun, um Beschränktheit einer Menge A nachzuweisen?
Und was ist ganz allgemein zu tun, um die Abgeschlossenheit einer Menge A nachzuweisen?

Edit: Kleiner Tip noch ... wir sind ja hier im Endlichdimensionalen und da sind alle Normen äquivalent. Such dir einfach eine Bequeme raus, und du kriegst die Beschränktheit bei a) geschenkt.

10.01.2006, 15:24

Mathespezialschüler

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Verschoben

Beachte sts112358 letzten Edit und denke bei der Abgeschlossenheit auch noch daran, dass Normkonvergenz im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ äquivalent zu komponentenweiser Konvergenz ist.

Gruß MSS

11.01.2006, 12:26

mcsuperstar

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kann ich den Betrag benutzen? Und mit $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in L \end{eqnarray*}$ mit K,L beschränkt dann folgern, dass der Betrag von (x,y) dann auch kleiner einer bestimmten Schranke ist?

Aber das mit der Abgeschlossenheit versteh ich nicht ganz:Normenkonvergenz äquivalent zu komponentenweiser Konvergenz???

11.01.2006, 12:30

Dual Space

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Ich denke du bist schon sehr nah dran, aber entscheide dich doch einfach mal für eine bequeme Norm (1-Norm, 2-Norm, ... , Supremumsnorm).

11.01.2006, 12:47

Mathespezialschüler

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Hallo!
Der Betrag ist doch keine Norm im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^p \end{eqnarray*}$ . Ganz nützlich könnte aber die Maximumsnorm sein.
Was ich mit meinem Tipp meinte ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1^{(m)} \\ x_2^{(m)} \\ \vdots \\ x_p^{(m)}\end{pmatrix}\stackrel{\|\cdot\|}{\to}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p\end{pmatrix}\Leftrightarrow\ \begin{matrix} x_1^{(m)}\to x_1 \\ x_2^{(m)}\to x_2 \\ \vdots \\ x_p^{(m)}\to x_p\end{matrix} \end{eqnarray*}$ .

D.h.: Die Folge $\begin{eqnarray*} \mathbf x_m=(x_1^{(m)},x_2^{(m)},\ldots,x_p^{(m)})^T \end{eqnarray*}$ (das ist eine Folge von Vektoren) geht für $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ genau dann gegen den Vektor $\begin{eqnarray*} \mathbf x=(x_1,x_2,\ldots,x_p)^T \end{eqnarray*}$ bzgl. jeder Norm, wenn $\begin{eqnarray*} x_j^{(m)}\to x_j \end{eqnarray*}$ geht für jedes $\begin{eqnarray*} j\in\{1,\ldots,p\} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

11.01.2006, 13:46

mcsuperstar

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Der Betrag ist doch keine Norm im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^p \end{eqnarray*}$ .

Ich meinte ja natürlich die Norm!

Hab selber doch noch was rausgefunden und hab jetzt schon mal gute Ansätze! Vielen Dank für eure Hilfe!

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