geometrische Verteilung und momenterzeugende Funktion

10.01.2006, 12:01

Stud

geometrische Verteilung und momenterzeugende Funktion

Hallo zusammen!

Wir sollen für die geometrische Verteilung $\begin{eqnarray*} f(X)=q^Xp \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X=0,1,2,\dots \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der momenterzeugenden Funktion $\begin{eqnarray*} M_X(t)=\sum_X q^Xpe^{tX} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass die ersten beiden Anfangsmomente $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{q}{p} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} E(X^2)=\frac{q+q^2}{p^2} \end{eqnarray*}$ sind.

Ich habe dazu bisher folgendes: Umformung der momenterzeugenden Funktion mit $\begin{eqnarray*} p=1-q \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} M_X(t)=\sum_X (q^X-q^{X+1})e^{tX} \end{eqnarray*}$ und Bilden der ersten beiden Ableitungen an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} M_X'(0)=\sum_X X(q^X-q^{X+1}) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} M_X''(0)=\sum_X X^2(q^X-q^{X+1}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Auflösung für das erste Anfangsmoment ist dann: $\begin{eqnarray*} M_X'(0)=\sum_X X(q^X-q^{X+1})=(q-q^2)+2(q^2-q^3)+3(q^3-q^4)+\dots=q+q^2+q^3+\dots=\sum_X q^{X+1}=\frac{q}{1-q}=\frac{q}{p} \end{eqnarray*}$ . Soweit so gut.

Für's zweite Anfangsmoment habe ich $\begin{eqnarray*} M_X''(0)=\sum_X X^2(q^X-q^{X+1})=(q-q^2)+4(q^2-q^3)+9(q^3-q^4)+\dots=q+3q^2+5q^3+\dots=(q+q^2+q^3+\dots)+(2q^2+4q^3+\dots) \end{eqnarray*}$ . Der erste Ausdruck ist wieder die unendliche geometrische Reihe mit Summenformel $\begin{eqnarray*} q+q^2+q^3+\dots=\sum_X q^{X+1}=\frac{q}{1-q}=\frac{q}{p} \end{eqnarray*}$ . Der zweite Ausdruck ergibt $\begin{eqnarray*} 2q^2+4q^3+\dots=2\sum_X Xq^{X+1}=2\frac{q^2}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$ . Somit ergibt sich für das zweite Anfangsmoment: $\begin{eqnarray*} M_X''(0)=\sum_X X^2(q^X-q^{X+1})=\frac{q+q^2}{(1-q)^2}=\frac{q+q^2}{p^2} \end{eqnarray*}$ .

Soweit so gut, aber warum ergibt sich die letzte Umformung (die des zweiten Summanden beim zweiten Anfangsmoment)? Mein Prof. sagte etwas von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ -Funktionen in diesem Zusammenhang? Ich sehe es einfach nicht... Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar!!!

10.01.2006, 14:34

navajo

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RE: geometrische Verteilung und momenterzeugende Funktion

Zitat:

Original von Stud
Soweit so gut, aber warum ergibt sich die letzte Umformung (die des zweiten Summanden beim zweiten Anfangsmoment)?

Meinst du das hier?

Zitat:

Original von Stud
Der zweite Ausdruck ergibt $\begin{eqnarray*} 2q^2+4q^3+\dots=2\sum_X Xq^{X+1}=2\frac{q^2}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ja, das kann man sehen in dem man das schreibt als:
$\begin{eqnarray*} \sum_X{Xq^{X+1}}=q^2\sum_X{Xq^{X-1}}=q^2\frac{d}{dq}\sum_X{ q^X} \end{eqnarray*}$
Und dann halt wieder die geometrische Reihe ausrechnen und dann die Ableitung durchführen.

10.01.2006, 15:15

Stud

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RE: geometrische Verteilung und momenterzeugende Funktion
Phänomenal! Vielen Dank! (War ja eigentlich auch nicht so schwer...) Aber was wollte mein Prof. dann mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ -Funktionen?!?

10.01.2006, 20:57

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Es war sicher erstmal beabsichtigt, eine einfachere Darstellung für $\begin{eqnarray*} M_X(t) = E\left(e^{tX}\right) = \sum_{x=0}^{\infty} ~ q^xpe^{tx} \end{eqnarray*}$ zu finden. Und für $\begin{eqnarray*} t<-\ln q \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} qe^t < 1 \end{eqnarray*}$ , also klappt das mit der geometrischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} M_X(t) = p\sum_{x=0}^{\infty} ~ \left(qe^t\right)^x = \frac{p}{1-qe^t} \end{eqnarray*}$

Und der Name "momenterzeugende Funktion" leitet sich aus der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} M_X^{(k)}(t) = E\left(X^ke^{tX}\right) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} E\left(X^k\right) = M_X^{(k)}(0) \end{eqnarray*}$

(d.h. die k-te Ableitung an der Stelle 0) ab.

11.01.2006, 11:55

Stud

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Respekt, Arthur! Also wenn die Lösung mal nicht elegant ist. Ich war ja schon stolz, dass ich überhaupt eine Lösung gefunden habe - aber da kann ich nur den Hut ziehen...

VIELEN DANK!!!

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