endliche körper

10.01.2006, 15:33	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
endliche körper hallo, ich soll zeigen, dass kein endlicher körper algebraisch abgeschlossen ist (d.h. es gibt in jedem endlichen körper nicht konstante polynome die keine nullstelle haben in dem Körper selbst haben.) das erscheint mir intuitiv auch logisch. sei K ein endlicher körper, so muß er eine primzahl als charakteristik haben. char(K) = p. ( $\begin{eqnarray} K= \mathbb{F}_p \end{eqnarray}$ ) dann hat das polynom $\begin{eqnarray} X^p-X+1 \end{eqnarray}$ keine nullstelle in K. aber warum? ich vermute stark, dass $\begin{eqnarray} X^p-X+1= 1+ \prod_{a \in \mathbb{F}_p}~(X-a) \end{eqnarray}$ gilt. (hab ich für einige fälle mit kleinem p überprüft.) nun meine frage: gilt dies allgemein (warum?) und wie kann man darausschlussfolgern, dass das polynom keine nullstelle in K hat. desweitern tauchte dann noch die frage auf, ob $\begin{eqnarray} X^p-X+1 \end{eqnarray}$ überhaupt nichtkonstant ist, denn wenn K die charakteristik p hat, dann müßte doch $\begin{eqnarray} X^p=X \end{eqnarray}$ gelten und somit wäre $\begin{eqnarray} X^p-X+1=X-X+1=1 \end{eqnarray}$ .
10.01.2006, 16:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ ist die Gruppenordnung der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray} K^{} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Daher gilt für alle $\begin{eqnarray} \alpha \in K^{} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \alpha^{p-1} = 1 \end{eqnarray}$ . Und durch Multiplikation dieser Gleichung mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ wird auch die Null noch mit eingebunden: Alle Elemente von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ sind Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} X^p - X \end{eqnarray}$ . Unterscheide ein Polynom von der Funktion, die durch dieses Polynom definiert wird. In der Algebra sind das zwei völlig verschiedene Dinge. Ein Polynom ist nämlich durch seine Koeffizienten eindeutig festgelegt. So gilt modulo 2 $\begin{eqnarray} X^2 + X \neq 0 \end{eqnarray}$ (beide Seiten als Polynome (!) betrachtet) Wegen $\begin{eqnarray} \alpha^2 + \alpha = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ ist jedoch die Funktion $\begin{eqnarray} \alpha \mapsto \alpha^2 + \alpha \end{eqnarray}$ tatsächlich die Nullfunktion.
11.01.2006, 10:51	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die antwort, sowas habe in der art hab ich mir schon gedacht, denn sonst würde es ja bei endlichen körpern auch nur endlich viele verschiedene polynome geben! jetzt sollte ich das problem vollständig lösen können! DANKE!

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