Inverse einer Potenzreihe

10.01.2006, 15:52

Sunwater

Inverse einer Potenzreihe

Hi...

wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass eine Potenzreihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~{a_nz^n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$

wenn man das Inverse bildet, also:

$\begin{eqnarray*} 1 / \sum_{n=0}^\infty~{a_nz^n} \end{eqnarray*}$ wieder eine Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~{c_nz^n} \end{eqnarray*}$ mit positivem Konvergenzradius ergibt...

jetzt haben wir solche Reihen gegeben:

a) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - + ...} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 + \frac{z}{2} + \frac{z^2}{3} + ...} \end{eqnarray*}$

und sollen von den Potenzreihen die dadurch dargestellt werden die ersten 5 Koeffizienten berechnen...

wie soll ich an die Aufgabe rangehen?

die Reihe ( mit den Bezeichnungen von oben ) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~{a_nz^n} \end{eqnarray*}$ sieht ja so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~{\frac{-1}{(2n)!}z^{2n}} \end{eqnarray*}$

hier stört mich schonmal das 2n - können da Probleme auftreten, weil das nicht wie bei einer "normalen" Potenzreihe nur n ist?

10.01.2006, 16:07

Mathespezialschüler

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Im Zähler muss $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ stehen. Bei der Division von Potenzreihen macht man im Allgemeinen den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}~a_nz^n}=\sum_{n=0}^{\infty}~b_nz^n \end{eqnarray*}$ .

Multipliziere diese Gleichung einfach mit der Potenzreihe im Nenner. Das Produkt von Potenzreihen ist wieder eine Potenzreihe und deren Koeffizienten ergeben sich aus der Cauchyschen Multiplikation zweier absolut konvergenter Reihen. Daraus erhältst du durch Koeffizientenvergleich (dabei wird der Identitätssatz eingesetzt!!) ein "unendlich langes" GLS, in dem du nacheinander die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ , die zweite dann nach $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ usw. umstellen kannst. Dabei wird z.B. zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ der Koeffizient $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ gebraucht. Die Koeffizienten erhält man also rekursiv.

Gruß MSS

10.01.2006, 18:27

Sunwater

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heißt das ich muss mir eine Potenzreihe nehmen, die den Wert 1 hat und dann Komponentenweise mit den Koeffizienten von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~{b_nz^n} * \sum_{n=0}^\infty~{\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}} \end{eqnarray*}$

vergleichen?

10.01.2006, 18:46

Mathespezialschüler

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Genau. Dazu musst du, wie gesagt, erstmal das Cauchyprodukt bilden. Übrigens sieht die Potenzreihe, die überall den Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat, einfach so aus:

$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{n=1}^{\infty}~0\cdot x^n \end{eqnarray*}$ .

D.h. alle Koeffizienten außer dem ersten sind $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

11.01.2006, 15:00

Sunwater

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ok, für mein zweites Bsp. hab ich das mal gemacht und hoffe, dass es auch geklappt hat...

meine Cauchy'sche Produktreihe ist ja:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~{b_nz^n}*\sum_{n=0}^\infty~{\frac{1}{n+1}z^n} = \sum_{n=0}^\infty~{( \sum_{k=0}^n~{b_{n-k}*\frac{1}{k+1}} ) *z^n} \end{eqnarray*}$

sei $\begin{eqnarray*} c_n := \sum_{k=0}^n~{b_{n-k}*\frac{1}{k+1}} \end{eqnarray*}$ ( sind ja meine Koeffizienten

d.h. ich muss jetzt mit deiner Reihe $\begin{eqnarray*} 1 + \sum_{n=0}^\infty~{0*z^n} \end{eqnarray*}$ einen Koeffizientenvergleich machen, also muss $\begin{eqnarray*} c_0 = 1 \end{eqnarray*}$ sein:

$\begin{eqnarray*} b_0 * 1 = 1 => b_0 = 1 \end{eqnarray*}$

danach muss $\begin{eqnarray*} c_1 = 0 \end{eqnarray*}$ sein:

$\begin{eqnarray*} b_1 + \frac{b_0}{2} = 0 => b_1 = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

usw.

hab ich das so richtig gemacht???

und nächstes Problem ist die Reihe bei a)...

da sieht die Cauchyreihe ja so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~{c_n} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n~{b_{n-k}z^{n-k} * \frac{(-1)^k}{(2k)!}*z^{2k}} = \sum_{k=0}^n~{b_{n-k}* \frac{(-1)^k}{(2k)!}*z^{n+k}} \end{eqnarray*}$

durch das k im Exponenten bei z kann ich das doch aber nicht vor die Summe ziehen und somit auch nicht die Koeffizienten wirklich unabhängig machen oder? ich muss das so umtauschen dass da eine Summe mit Koeffizienten und dann $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ steht - erst dann kann ich Koeffizienten mit der 1-Reihe machen oder?

11.01.2006, 15:26

Mathespezialschüler

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Die zweite hast du richtig gemacht. Freude

Gib am besten deine Ergebnisse nochmal an. Man kann sich ja immer mal verrrechnen.
Zu a): Auch Reihen der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_nz^{2n} \end{eqnarray*}$ sind ganz "normale" Potenzreihen. Die kannst du nämlich so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~b_kz^k \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} b_k=\begin{cases} \frac{k}{2} & \text{falls }k\text{ gerade} \\ 0 & \text{falls }k\text{ ungerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

edit: Es muss

$\begin{eqnarray*} b_k=\begin{cases} a_{\frac{k}{2}} & \text{falls }k\text{ gerade} \\ 0 & \text{falls }k\text{ ungerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

heißen, siehe unten.

Jetzt könntest du das also einfach mit dieser Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~b_kz^k \end{eqnarray*}$ machen. Es geht aber auch einfacher: Sei

$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}~a_nz^{2n} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(-z)=f(z) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus dem Konvergenzintervall. Für

$\begin{eqnarray*} g(z)=\frac{1}{f(z)}=\frac{1}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}~a_nz^{2n}} \end{eqnarray*}$

gilt dann natürlich dasselbe. Damit ist die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , genauso wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , gerade. Dann sind aber in der Potenzreihedarstellung

$\begin{eqnarray*} g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b'_nz^n \end{eqnarray*}$

alle $\begin{eqnarray*} b'_{2n-1}=0 \end{eqnarray*}$ . Erinnere dich an den anderen Thread! D.h., du kannst von Anfang an direkt ansetzen:

$\begin{eqnarray*} g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^{2n} \end{eqnarray*}$ .

Und dann funktioniert das auch wieder mit dem Cauchyprodukt.

Gruß MSS

11.01.2006, 15:34

Sunwater

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danke - werd ich mal versuchen...

meine restlichen Ergebnisse sind:

$\begin{eqnarray*} b_2 = -\frac{1}{12}, b_3 = -\frac{1}{24}, b_4 = -\frac{1}{72} \end{eqnarray*}$

11.01.2006, 15:56

Sunwater

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für die zweite habe ich dann raus:

$\begin{eqnarray*} b_0 = 1, b_1 = \frac{1}{2}, b_2 = \frac{5}{24}, b_3 = \frac{61}{720}, b_4 = \frac{277}{8064} \end{eqnarray*}$

danke für die Hilfe...

11.01.2006, 16:10

Mathespezialschüler

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Bei b) habe ich dasselbe bis auf den letzten Koeffizienten. Da habe ich:

$\begin{eqnarray*} b_4=-\frac{19}{720} \end{eqnarray*}$ .

Bei a) habe ich dieselben Koeffizienten. Freude

Gruß MSS

11.01.2006, 18:33

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} b_k=\begin{cases} \frac{k}{2} & \text{falls }k\text{ gerade} \\ 0 & \text{falls }k\text{ ungerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} b_k=\begin{cases} a_\frac{k}{2} & \text{falls }k\text{ gerade} \\ 0 & \text{falls }k\text{ ungerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Augenzwinkern

11.01.2006, 18:38

Mathespezialschüler

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Oh ja, das ist richtig. Danke. Augenzwinkern

Gruß MSS

12.01.2006, 09:59

Sunwater

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bei $\begin{eqnarray*} b_4 \end{eqnarray*}$ sieht es bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} b_4 + b_3*\frac{-1}{2} + b_2*\frac{1}{24} + b_1*\frac{-1}{720} + b_0*\frac{1}{40320} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_4 = \frac{61}{1440} - \frac{5}{576} + \frac{1}{1440} - \frac{1}{40320} = \frac{1708 - 350 + 28 - 1}{40320} = \frac{1385}{40320} \end{eqnarray*}$

wenn du die Werte vorher auch hast müsste es ja so stimmen...

12.01.2006, 21:38

Mathespezialschüler

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Und wie kommst du auf deine erste Zeile? Oben sah die noch etwas anders aus:

Zitat:

Original von Sunwater
sei $\begin{eqnarray*} c_n := \sum_{k=0}^n~{b_{n-k}*\frac{1}{k+1}} \end{eqnarray*}$ ( sind ja meine Koeffizienten

Gruß MSS

12.01.2006, 22:47

Sunwater

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ah - ich war bei der falschen Reihe...

ne hab mich beim letzten wirklich verrechnet - hab jetzt das gleiche raus wie du!

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