Zerfallgeschwindigkeit

10.01.2006, 16:19	paul112	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfallgeschwindigkeit Hallo,bin neu hier und bräcuhte mal eure hilfe. Ich muss folgende Aufgabe lösen: Beim radioaktiven Zerfall ist zu jedem Zeitpunkt t die Zerfallsgeschwindigkeit m'(t) proportional zu m(t), daraus hab ich gefolgert m'(t) ~ m(t) => m'(t)= k* m(t) Jetzt kommt noch: Wie lautet die zugehörige Differenzialgleichung,wenn die Halbwertszeit des Elements 28 Jahre beträgt. Hatte mir überlegt Halbwert,da muss was halbiert werden,als irgndwas = 1/2 sein. Aber jetzt komm ich nicht wirklich weiter. danke schon mal im vorraus paul112
10.01.2006, 16:46	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt musst Du Dich zunächst entscheiden, ob Du mit dem offiziellen «Zerfallsgesetz» arbeiten willst (Basis e), oder ob Du lieber die intuitive Variante (Basis 1/2) wählst, um an das Problem heranzugehen... Für 0.5: $\begin{eqnarray} N(t)=N_0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{28}}\text{, }t\text{ wird in Jahren angegeben!} \end{eqnarray}$ Der Rest sollte zu machen sein... EDIT: Ist zweifelsohne die einfachere Variante, weil im anderen Fall die Halbwertszeit in einer sogenannten Zerfallkonstanten ( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ) versteckt ist...
10.01.2006, 22:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Erst ist die Differentialgleichung anzugeben und danach wohl auch die Lösung. Und damit sind wir zunächst bei der "e-Variante" (Basis e) mit der Zerfallskonstanten. Später kann man diese Relation noch umformen. Richtig ist zweifellos: m'(t) ~ m(t) => m'(t)= k* m(t) ... k Proportionalitätsfaktor daraus folgt schon die Differentialgleichung! $\begin{eqnarray} \frac{dm}{dt} = k.m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dm = k.m.dt \end{eqnarray}$ Lösung durch Trennung der Variablen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{m}.dm = k.dt \end{eqnarray}$ .... integrieren $\begin{eqnarray} ln(m) = k.t + m_0 \end{eqnarray}$ ... ( $\begin{eqnarray} m_0 \end{eqnarray}$ ist Integr. konstante) [entlogarithmieren] $\begin{eqnarray} m = m_0.e^{k.t} \end{eqnarray}$ Für den Fall der gegebenen Halbwertszeit setze $\begin{eqnarray} m = \frac{m_0}{2} \end{eqnarray}$ So ist $\begin{eqnarray} -ln(2) = k.t \end{eqnarray}$ Reicht das soweit? Gr mYthos
10.01.2006, 22:48	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
unsinn, sry
12.01.2006, 21:26	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von Mythos angegebene Möglichkeit der Lösung ist nun eben grad andersrum. Mal sehen wofür Du Dich entscheidest (bzw. ob überhaupt noch was folgt in diesem Thread...)
13.01.2006, 02:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Frooke Da kannst du Gift drauf nehmen, dass da nix mehr kommt, wie in vielen anderen Threads! Das ist leider eine unerfreuliche Missachtung der Netiquette, die immer mehr um sich greift und die mir die Arbeit im Forum (nicht nur in diesem!) ziemlich verleidet. Relativ viele Fragesteller, vor allem die nicht registrierten - und das ist ärgerlich - finden es kaum der Mühe wert, nach erfolgter Auskunft auch nur einen Mauz von sich zu geben. Die Moderatoren sollten sich überlegen, Fragen nur noch für registrierte User zuzulassen, wie es in vielen anderen Foren schon längst üblich ist. Gr mYthos
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13.01.2006, 11:05	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde das mal beim Modteam melden! Vielen Dank! Doch noch was kleines zur Thematik... Was ich oben hingeschrieben habe war ja Folgendes $\begin{eqnarray} N(t)=N_0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{28}} \end{eqnarray}$ Wechseln wir nun die Basis, so folgt daraus $\begin{eqnarray} N(t)=N_0\cdot\exp\left(-t\cdot \underbrace{\frac{\ln 2}{28}}_{= T_{1/2}}\right) \end{eqnarray}$ Und da $\begin{eqnarray} \frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\lambda \end{eqnarray}$ (Lamdba ist die Zerfallskonstante) folgt daraus unmittelbar $\begin{eqnarray} N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t} \end{eqnarray}$ Das nur für Leser, die den Unterschied zwischen den Varianten wissen wollen...

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