Stetigkeit

11.01.2006, 12:09

Daktari

Stetigkeit

Hi, ich komme beim Nachweis der Stetigkeit bei folgender Funktion mit meinen Ansätzen nicht weit.

sei f : $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
f(x) = x für x rational
f(x) = 0 für x irrational

z.z. f ist nur in x=0 stetig

Ich habe mich für das $\begin{eqnarray*} \varepsilon - \delta \end{eqnarray*}$ Kriterium entschieden

| x- @ | < $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ --> |f(x) - f(@) | < Epsilon

i.) z.z. f ist stetig in @ = 0
Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest.
x sei eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich

Sei x irrational
| f(x) - f(@) | = | o-o| = 0 < $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$

Sei x rational
| f(x) - f(@) | = | x - 0 | = | x | < $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , da x beliebig. Man muss x nur "ganz klein" wählen.

Frage 1)
was muss ich mit | x- @ | < $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ anstellen ? da dies die Voraussetzung für
| f(x) - f(@) | < $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

ii) z.z. f ist unstetig in @ $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

Sei Epsilon > 0 beliebig aber fest
Sei f stetig in @
Sei x irrrational, dann wähle @ rrational
--> dann gilt | x - @ |< $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$
--> | f(x) - f(@) | = | 0 - @ | =| @ |
für epsilon = 0,5| @ | gilt das nicht --> unstetig für irrationale Zahlen

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ > 0 beliebig aber fest
Sei f stetig in @
Sei x rrational, dann wähle @ irrrational
--> | x - @ | < $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$
--> | f(x) - f(@) | = | x - 0 | = | x | < $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , da x beliebig
(selbe Begründung wie oben)

Frage2) Was mache ich falsch traurig

11.01.2006, 12:56

Mathespezialschüler

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Hallo!
Zunächst einmal die Frage: Was sollen die ganzen @-Zeichen?

Zitat:

Original von Daktari
Sei x rational
| f(x) - f(@) | = | x - 0 | = | x | < Epsilon, da x beliebig. Man muss x nur "ganz klein" wählen.

Genau hier musst du dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ angeben. Das mit dem "ganz klein wählen" ist sehr ungenau. Sag doch lieber: Für $\begin{eqnarray*} \delta:=\ldots \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} |x-0|=|x|<\delta \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|=|x|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Welches $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ kannst du da wohl nehmen!?
Dein Unstetigkeitsbeweis ist etwas konfus und auch nicht korrekt. Was ist dieses "@"? Mach dir erstmal klar, was du da beweisen musst! Du musst zeigen:

Für jedes $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ existiert, für das zwar $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ , aber auch $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|\geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

11.01.2006, 14:13

thoroh

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Hallo!
Zunächst einmal die Frage: Was sollen die ganzen @-Zeichen?

Naja, im Prinzip ist es doch egal, welches Symbol Daktari benutzt, um ein Element aus der Menge der reellen Zahlen zu bezeichnen - auch wenn es nicht der üblichen Verwendung des Zeichens "@" oder den mathematischen Konventionen entspricht. Augenzwinkern

lg
thoroh

11.01.2006, 20:30

Daktari

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hab im Formeleditor kein xi gefunden, deshalb habe ich @ genommen

11.01.2006, 20:37

Daktari

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Hallo!
Zunächst einmal die Frage: Was sollen die ganzen @-Zeichen?

Zitat:

Original von Daktari
Sei x rational
| f(x) - f(@) | = | x - 0 | = | x | < Epsilon, da x beliebig. Man muss x nur "ganz klein" wählen.

Kann ich $\begin{eqnarray*} \delta = |x| +1 \end{eqnarray*}$ wählen ?

11.01.2006, 20:46

Mathespezialschüler

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Du hast ja auch sonst nicht mit dem Formeleditor gearbeitet - leider. $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ geht mit "\xi".
Nein, so kannst du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nicht wählen! $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ darf von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ , keinesfalls aber von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen!!

Gruß MSS

11.01.2006, 21:30

Daktari

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Genau hier musst du dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ angeben. Das mit dem "ganz klein wählen" ist sehr ungenau. Sag doch lieber: Für $\begin{eqnarray*} \delta:=\ldots \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} |x-0|=|x|<\delta \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|=|x|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Welches $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ kannst du da wohl nehmen!?
Dein Unstetigkeitsbeweis ist etwas konfus und auch nicht korrekt. Was ist dieses "@"? Mach dir erstmal klar, was du da beweisen musst! Du musst zeigen:

Für jedes $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ existiert, für das zwar $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ , aber auch $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|\geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

Ich bleib immer hier stecken Hilfe

Sei $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ irrational

dann gilt
$\begin{eqnarray*} |x-a| = |x-0| =|x| < \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)| = |x-o| \geq |x| -|0| = |x| \end{eqnarray*}$
Ich weiß wirklich net weiter traurig

11.01.2006, 23:07

Mathespezialschüler

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Oben steht doch, was du machen musst. Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ irrational. Probiere mal mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, was da oben steht.

Gruß MSS

12.01.2006, 00:08

Daktari

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stimmt's jetzt ? verwirrt

Zitat:

z.z. f stetig in 0
i.) sei x rational
$\begin{eqnarray*} |x-0|=|x|<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|=|x|< \delta < \delta -1 = \varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon +1 \end{eqnarray*}$

ii) sei x irrational
$\begin{eqnarray*} |0-0|=|0|<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|=|0|< \delta < \delta -1 = \varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon +1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Dein Unstetigkeitsbeweis ist etwas konfus und auch nicht korrekt. Was ist dieses "@"? Mach dir erstmal klar, was du da beweisen musst! Du musst zeigen:

Für jedes $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ existiert, für das zwar $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ , aber auch $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|\geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Oben steht doch, was du machen musst. Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ irrational. Probiere mal mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, was da oben steht.

Gruß MSS

z.z. f unstetig in $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ irrational
$\begin{eqnarray*} |x-a| = |0-a| = |a| < \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)| \geq |0| -|a| \geq |a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt
z.B. für $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{|a|}{2} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rational
$\begin{eqnarray*} |x-a| < \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)| = |x-a| \geq |x| - |a| \geq -|a| \geq |a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$
z.B. für $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{|a|}{2} \end{eqnarray*}$

12.01.2006, 00:31

thoroh

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Zitat:

Original von Daktari
z.z. f stetig in 0
i.) sei x rational
$\begin{eqnarray*} |x-0|=|x|<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|=|x|< \delta < \delta -1 = \varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist zu groß gewählt. Außerdem stimmt die Ungleichung nicht. Wenn du von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ eins abziehst, kann das nicht größer sein als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ selbst.

Zitat:

Da stimmt z.B. auch die Ungleichung nicht. Eine negative Zahl kann nicht größer sein als eine positive.

Beginne so:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ irrational

Mache dir klar, dass es in jeder $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch eine rationale Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt.

Was gilt jetzt für $\begin{eqnarray*} \mid f(x) - f(a) \mid \end{eqnarray*}$ ?

lg
thoroh

12.01.2006, 00:35

Mathespezialschüler

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Zitat:

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \delta<\delta-1\Leftrightarrow 0<-1 \end{eqnarray*}$ ? Wähle doch einfach $\begin{eqnarray*} \delta:=\varepsilon \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Original von Daktariz.z. f unstetig in $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ irrational
$\begin{eqnarray*} |x-a| = |0-a| = |a| < \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)| \geq |0| -|a| \geq |a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt
z.B. für $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{|a|}{2} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rational
$\begin{eqnarray*} |x-a| < \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)| = |x-a| \geq |x| - |a| \geq -|a| \geq |a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$
z.B. für $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{|a|}{2} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ irrational?
Du scheinst noch nicht richtig verstanden zu haben, was du überhaupt zeigen musst. Du musst doch zu jedem $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ nur ein einziges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben, für das $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|\geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Da ist es nicht sinnvoll, diese Fallunterscheidung oben zu machen. Auch die Abschätzungen sind etwas komisch und teilweise falsch. Du nimmst da immer dieselben Abschätzungen. Warum? Was sollen diese bringen? Bis jetzt hast du noch kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angegeben, sondern immer mit allgemeinem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gerechnet. Wie gesagt, du musst nur ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben, das diese Eigenschaft hat.
Denke auch daran, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ irrational ist und deswegen $\begin{eqnarray*} f(a)=0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f(a)=a \end{eqnarray*}$ gilt, so wie du es immer geschrieben hast.

Gruß MSS

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