Simulation von Normalverteilten ZZ

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alexis Auf diesen Beitrag antworten »
Simulation von Normalverteilten ZZ
hallo,

kennt sich hier jemand mit simulation aus??

folgende fragen beschäftigen mich bereits seit einer weile:

1) die lineare kongruenzmethode generiert ZZ. Diese sind aber nicht zwangsläufig standard-normalverteilt, richtig?

2) auch die inverse transformationsmethode generiert ZZ. Auch diese sind nicht standard-normalverteilt, richtig?

3) wenn ich nun aber standard-normalverteilte ZZ möchte, und das ist häufig der fall, kann ich den konvolutionsalgorithmus verwenden.



wieso aber, sind die aus den ZZ generierten zahlen Z dann standard-normalverteilt? wie weise ich eine standard-normalverteilung überhaupt nach?

4) auch die direkte methode kann benutzt werden, um die ZZ in standard-normalverteilte Zahlen zu transformieren. doch wieso ist das so?




5) wenn wir die normalverteilung ausdehnen in den mehrdimensionalen raum, dann muss die varianz/covarianz-matrix positiv semidefinit sein. Wie weise ich das formal nach?

6) simulation von mehrdimensionalen normalverteilungen:
a) generiere standard-normalverteilte ZZ (z.b. mit der linearen kongruenzmethode und der direkten methode)
b) fasse die ZZ zu einem vektor Y zusammen
c) cholesky-Zerlegung der Varianz/covarianz-matrix :
L*L'=
d) behauptung: erzeugt einen standard-normalverteilten vektor X

ist das so richtig? wieso benutze ich hier die cholesky-dekomposition? wenn ich einen normalverteilten vektor mit einer konstanten (links-untere-dreiecksmatrix) multipliziere und eine konstante addiere, ist doch klar, dass das ergebnis wieder standard-normalverteilt ist, oder?

bin für jeden beitrag dankbar. gruß, alexis
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Ich hab momentan nicht viel Zeit, daher gebe ich dir erstmal nur einen Link zu einer ähnlichen Anfrage und den dortigen Antworten an:

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Heute abend vielleicht mehr...
alexis Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den link.
der hat wohl das gleiche problem.
kannst du mir denn helfen?
oder jemand anderes?
gruß, alexis
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich das nicht in dem erwähnten Thread? Ich erwarte eigentlich, dass du das sichtest, und dann mal deine Fragen hier auf die offen bleibenden Sachen reduzierst!
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Alexis,

vielleicht hast du die zweite Seite des Threads übersehen.

Gruß vom Ben
alexis Auf diesen Beitrag antworten »

oh, die zweite seite hatte ich tatsächlich nicht gesehen...
moment bitte...
 
 
alexis Auf diesen Beitrag antworten »

hallo arthur dent,

Zitat:
Thema 1: Simulation stetiger [0,1]-gleichverteilter Zufallsgrößen - sogenannte Zufallszahlen


zunächst mal eine ganz allgemeine frage: wenn du schreibst [0,1]-gleichverteilte ZZ; sind das dann nicht standnormalverteilte ZZ?? Eine Normalverteilung hat doch einen mittelwert und eine varianz . wenn nun und ist (so, wie du schreibst), dann würde das ja standardnormalverteilt heissen, oder nicht? sie sollen aber bei den beiden methoden nur gleichverteilt sein... was ist also eine normalverteiltung (ich denke, eine verteilung, komplett beschrieben durch mittelwert und varianz) und was eine [0,1]-verteilung (ich denke, eben die standardnormalverteilung)?? doch dann wäre ja deine aussage, die lineare kongruenzmethode würde [0,1]-gleichverteilte zahlen generieren falsch. denn sie generiert angeblich keine standardnormalverteilten ZZ...

Zitat:
Konvolutionsalgorithmus: Der basiert auf dem ZGWS ( = Zentraler Grenzwertsatz). Meistens wird er mit n=12 Zufallszahlen angewandt.


aber wieso nimmt man beispielsweise 0,5*n. und warum genau 12. eine approxomation könnte doch wesentlich besser sein, würde man, sagen wir, 25 nehmen??

Zitat:
"Direkte Methode" = Box-Muller-Verfahren : Die Richtigkeit dieser Methode kann man mit dem Transformationssatz für Zufallsvektoren beweisen.


aha, das wusste ich nicht. derzeit sagt mir der link aber gar nichts. ich kann die zeilen nicht nachvollziehen...

Zitat:
Thema 3: Simulation mehrdimensionaler Verteilungen, insbesondere Normalverteilungen


das verstehe ich. das macht ja auch sinn. was irgendwie keinen sinn macht, ist dafür die Varianz/Covarianz-matrix zu benutzen. wieso nehme ich nicht einfach ein matrix, wie .

beste grüße
alexis
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alexis
zunächst mal eine ganz allgemeine frage: wenn du schreibst [0,1]-gleichverteilte ZZ; sind das dann nicht standnormalverteilte ZZ??

Stetige Gleichverteilung und Normalverteilung sind grundverschiedene Verteilungen - gemeinsam haben sie höchstens, dass beide stetige Verteilungen sind. Angesichts dessen, dass du dich schon mit mehrdimensionalen Normalverteilungen und deren Simulation befassen willst (oder sollst), ist diese Frage geradezu erschreckend naiv zu nennen.

Zitat:
Original von alexis
Zitat:
Konvolutionsalgorithmus: Der basiert auf dem ZGWS ( = Zentraler Grenzwertsatz). Meistens wird er mit n=12 Zufallszahlen angewandt.

aber wieso nimmt man beispielsweise 0,5*n. und warum genau 12. eine approxomation könnte doch wesentlich besser sein, würde man, sagen wir, 25 nehmen??

Richtig, je größer das n, umso genauer wird die Approximation. 0,5*n ist der Erwartungswert der Summe dieser n Zufallszahlen, denn eine einzige hat Erwartungswert 0,5. Liegt wieder an deiner Unkenntnis der stetigen Gleichverteilung.

Zum Rest der Fragen hat es wohl erst mal keinen Zweck, sich zu äußern, da fehlen offenbar zu viele Grundlagen.
alexis Auf diesen Beitrag antworten »

genau, hast recht. hier im matheboard werden nur die komplizierten fragen beantwortet. dumme fragen zu lächerlichen verteilungen kann dir auch deine kleine schwester beantworten...
arthur, solche kommentare kannst du dir echt sparen. bist schon ein held.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Wikipedia-Links zu Normalverteilung und Gleichverteilung angegeben, weil ich das dort geschriebene für besser halte, als wenn ich jetzt hier ein paar armselige Zeilen verbreche. Hast du irgendein Problem damit? Schließlich müssen die Grundlagen sitzen, bevor man weitermachen kann - ist es nicht so?
alexis Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe kein problem mit wikipedia-links. ich habe ein problem mit unverschämten äusserungen... machen wirs einfach so: wenn ich mal wieder eine frage habe, dann kannst du dich entscheiden, ob du antworten oder dich zurückhalten willst. wenn du dich für eine antwort entscheidest, dann verzichte aber auf eine wertung der frage oder meiner kenntnisse.
jovi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simulation von Normalverteilten ZZ
Also ich finde du reagierst viel zu empfindlich.

Ich hätte mich nie getraut auf deine Frage zu antworten, weil mir einfach viele der verwendeten Begriffe
nicht geläufig sind ich erst mal intensiv Literatur wälzen müsste um mich nicht zu blamieren.
Und das obwohl ich derartiges in der Praxis wohl schon mal gemacht habe und ungefähr weiss worum es geht.
Dein zweiter Beitrag hat aber auch bei mir spontan ein Entsetzensschrei ausgelöst.
Wie sonst soll man dich denn darauf hinweisen, dass du so komplizierte Fragestellungen nicht angehen kannst
wenn die Grundlagen fehlen ?
Eine unverschämte Äusserung kann ich nicht sehen, und böse meint hier eh niemand was -
man will hier doch nur helfen, und Arthur macht das wie ich finde besonders gut und intensiv.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alexis
wenn ich mal wieder eine frage habe, dann kannst du dich entscheiden, ob du antworten oder dich zurückhalten willst. wenn du dich für eine antwort entscheidest, dann verzichte aber auf eine wertung der frage oder meiner kenntnisse.

Gegenvorschlag: Wenn du die direkte Art, den Finger in die Wunde zu legen, nicht magst, dann schreibe in deiner nächsten Frage mit dazu, dass du nur diplomatische Antworten wünschst. Dann werde ich dich garantiert nicht mit Erwiderungen belästigen, da ich nun mal die direkte Art mag. Und mit 37 bin ich wohl in dieser Hinsicht schon verknöchert und schwer umerziehbar.
alexis Auf diesen Beitrag antworten »

@ jovi

ich empfinde "erschreckend naiv" als äquivalent zu "mann, bist du bescheuert". und "es hat wohl keinen zweck" sagt so ungefähr das gleiche. soviel zu unverschämt.
dass arthur nur helfen will, dass sehe ich. bei 8000 einträgen im jahr. ist ja auch gut so. man hätte allerdings zurückgaltender sein können. ich befasse mich seit geraumer zeit mit diesem mist und gehe auf dem zahnfleisch. wenn dann jemand eint, er müsste mir dumm kommen, dann passt mir das nicht. ein dezenter hinweis: es gibt einen unterschied zwischen gv und snv hätte ausgereicht.

@ arthur

ja, mit 37 wird das schwer. ich habe, wie du siehst, meine definitionslücke geschlossen. dies soll in zukunft helfen, die entsprechende formulierung zu finden. als belästigung habe ich deine antworten nicht verstanden, aber - wie du so schön sagst - den finger brauchste ja nicht in die wunde stecken. bringt ja nix.

i bin hoit mit da gesamtsituation unzufried'n!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alexis
ich empfinde "erschreckend naiv" als äquivalent zu "mann, bist du bescheuert". und "es hat wohl keinen zweck" sagt so ungefähr das gleiche

Eigentlich sollte es eher folgende Reaktion hervorrufen: "Oh Mann, für diese Fragestellung fehlen mir aber wichtige Grundlagen, die ich bisher hab schleifen lassen. Muss ich mich doch nochmal auf den Hosenboden setzen, und das Zeugs nacharbeiten, bevor ich den schwierigen Teil angehen kann."

Aber stimmt, "naiv" war in dem Zusammenhang der falsche Begriff.
alexis Auf diesen Beitrag antworten »

in diesem kontext möchte ich dir nun einmal einen wikipedia link zukommen lassen: Sender-Empfänger-Modell.

hinsichtlich der simulationsproblematik: ich weiß nun so einiges: ich kenne den unterschied zwischen Gleichverteilung und Normalverteilung, weiß, wie die lineare kongruenzmethode gleichverteilte ZZ erzeugt und wie der konvolutionsalgorithmus aus eben solchen approximativ eine N(0,1) ZZ macht. Erwähnen möchte ich, dass ein Vorteil der Box-Muller-Methode gegenüber des konvolutionsalgorithmus ist, dass sie zwei N(0,1) ZZ aus zwei [0,1] erzeugt, während letzterer 12 [0,1] ZZ benötigt, um eine N(0,1) zu erzeugen. aber das ist ja ersichtlich.

da der beweis für die positive semidefinität des ein kinderspiel und die cholesky-dekomposition ein eben solches sogar für meine kleine schwester ist, hat sich prinzipiell das thema simulation (im kontext meines horizontes) erledigt.

vielen dank für deine hilfe!!!!!

themengebiete, die in den nächsten 14 tagen folgen, sind: optimierung, zeitdiskrete stochastische prozesse sowie zeitstetige, eventuell etwas zur Regression und zur Maximum Likelihood schätzung (eher unwahrscheinlich, sofern die grundlagen da sind).

runde 2 wäre die optimierung. sag bescheid, ob und wann du bereit bist!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alexis
Erwähnen möchte ich, dass ein Vorteil der Box-Muller-Methode gegenüber des konvolutionsalgorithmus ist, dass sie zwei N(0,1) ZZ aus zwei [0,1] erzeugt, während letzterer 12 [0,1] ZZ benötigt, um eine N(0,1) zu erzeugen. aber das ist ja ersichtlich.

Nicht zu vergessen, dass der Konvolutionsalgorithmus eigentlich nur approximativ normalverteilte Werte liefert, denn n=12 ist schließlich nicht unendlich. Augenzwinkern

Andererseits gibt es sehr, sehr schnelle Zufallszahlengeneratoren, viel schneller als beispielsweise Sinus-, Kosinus-, Wurzel- oder Logarithmenberechnung. Das sollte man auch nicht außer Acht lassen. Hinsichtlich Schnelligkeit finde ich eine Modifikation des Box-Muller-Verfahrens sehr interessant: die Polar-Methode

Die erfordert zwar in ca. der Fälle mehr als zwei Zufallszahlen, vermeidet aber die rechentechnisch "teuren" Winkelfunktionswerte.
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