Satz des Cavalieri

Neue Frage »

sich Fragende: Auf diesen Beitrag antworten »
Satz des Cavalieri
Beweis???
Hilfe
Also, ich habe vorhin mit starkem interesse den Eintrag über den Satz des Cavalieri gelesen, den wir zufälliger weise gerade im Untericht hatten. Schon da habe ich mich gefragt, ob es denn einen Beweis für diesen Satz gibt. Meine Mathelehrerin :teacher: wusste es natürlich nicht...
gibt es eigentlich einen Beweis für den Satz des Cavalieri? unglücklich ...
Da dachte ich mir, vielleicht weiß hier jemand, wo ich den finden könnte...??!!
Ich freue mich über eine Antwort!
Ni
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Den Beweis gibt es mit Sicherheit. Befrag doch mal Google.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gibt natürlich einen Beweis für diesen Satz. Allerdings wird dieser Beweis meist erst im 2. oder 3. Semester an der Uni behandelt, weil der Satz dort sehr viel allgemeiner behandelt wird, auf Grundlage der Integralrechnung nämlich. Elementare geometrische Beweise für die geometrische Formulierung kenne ich nicht. Angeblich soll es einen solchen aber auch geben.

Gruß MSS
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde einmal mit aller Vorsicht die Behauptung wagen, daß es keinen elementaren Beweis für das Cavalierische Prinzip gibt, wenn man darunter einen Beweis versteht, der auf Grenzwertprozesse verzichtet. Das Problem ist ja, daß man in der Schule einen naiven Volumenbegriff hat. Danach hat jeder Körper ein Volumen, das nur noch zu berechnen ist. Auf der Universität wird einem diese Vorstellung dann gründlich ausgetrieben. Man lernt dort, daß das Volumen erst sorgfältig, auf den gesicherten Grundlagen der Analysis sozusagen, zu definieren ist (Maß- und Integrationstheorie) und das nicht einmal für alle "Körper" möglich ist. Und erst wenn der Begriff dann sauber definiert ist, kann man über ihn auch Beweise führen.
Da man in der Schule nur den naiven Volumenbegriff hat, wird daher ein "Beweis" auch nur naiv geführt werden können. Der Grenzwertprozeß wird dabei mehr oder weniger versteckt plausibel gemacht: Bei einem Wurstturm aus dünnen Salamischeiben werden die einzelnen Scheiben ein bißchen (es darf auch ein bißchen mehr sein) gegeneinander verschoben - so oder ähnlich gehen diese Beweise. Sie enthalten natürlich die Kernidee, wie sie beim Aufbau des Integralbegriffs später präzisiert wird.
Nicht einmal die Volumenformel für die Pyramide kann allein durch Zerlegungen der Pyramide in einfachere Körper bewiesen werden. Es war, glaube ich, Max Dehn, der das nachgewiesen hat.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Mein ehemaliger Lehrer sagte mir einmal, er hätte im Studium einen Beweis gehabt, den ein Zehntklässler ohne irgendwelches Wissen über Integral- oder Grenzwertrechnung verstehen könnte. Ich weiß nicht, ob er sich geirrt hat, aber ich denke, dass das wohl nicht möglich ist. Eben unter anderem wegen des von Leopold angesprochenen Problems der Definition des Volumens eines Körpers ohne Benutzung eines Integral.

Gruß MSS
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Besuch doch deinen ehemaligen Lehrer einmal. Er wird sich freuen. Jedenfalls so lange, bis du von ihm den einfachen Beweis verlangst ...
Und wenn du den dann hast, dann - bitte - veröffentliche ihn doch hier im MatheBoard. Ich werde ihn von da ab in meinen 10. Klassen als Satz von NN (Name deines Lehrers) und MSS behandeln.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne diesen leicht verständlichen Beweis und versuche ihn mal hier mit kurzen Worten zu erklären:

Man nehme 2 gleichhohe Körper deren Grund- und Deckfläche gleichgroß ist, wobei Deckfläche=Grundfläche nicht gelten muss(also beide Körper haben dieselbe Grundfläche, wobei die Grundfläche nicht so groß sein muss wie die Deckfläche). Weiters ist die Querschnittsfläche beider Körper in einer Höhe h immer gleich groß.
Nun nimmt man das Volumen das zw. 2 Querschnittsflächen eines Körpers liegt und lässt den Höhenunterschied extrem klein werden, wobei die Querschnittsflächen in beiden Körpern auf gleicher Höhe liegen. Da nun die Größe einer Querschnittsfläche gegen die Größe der anderen Querschnittsfläche konvergiert, kann man sie als gleichgroß betrachten. Das gilt auch für den anderen Körper und somit haben beide Querschnittsvolumina die gleiche Größe. Dieses Prinzip lässt sich auf die Gesamtheit beider Körper anwenden und durch das Aufsummieren dieser extrem schmaler Volumina ergibt sich für beide Körper das gleiche Volumen.

Cavalieri würde sich wahrscheinlich bei diesem Beweis im Grabe umdrehen, aber was solls. Was tut man nicht alles für die Verständlichkeit. Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
Nun nimmt man das Volumen das zw. 2 Querschnittsflächen eines Körpers liegt und lässt den Höhenunterschied extrem klein werden, wobei die Querschnittsflächen in beiden Körpern auf gleicher Höhe liegen. Da nun die Größe einer Querschnittsfläche gegen die Größe der anderen Querschnittsfläche konvergiert, kann man sie als gleichgroß betrachten.

Klingt nach Bestätigung von

Zitat:
Original von Leopold
Ich würde einmal mit aller Vorsicht die Behauptung wagen, daß es keinen elementaren Beweis für das Cavalierische Prinzip gibt, wenn man darunter einen Beweis versteht, der auf Grenzwertprozesse verzichtet.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass es in mathematischer Hinsicht keinen wirklichen Beweis darstellt, aber es ist für jemanden, der noch keine Ahnung von Grenzwerten und Integralen hat, eine logische Begründung und außerdem wurde ja danach verlangt.
Zitat:
Original von Leopold
Besuch doch deinen ehemaligen Lehrer einmal. Er wird sich freuen. Jedenfalls so lange, bis du von ihm den einfachen Beweis verlangst ...
Und wenn du den dann hast, dann - bitte - veröffentliche ihn doch hier im MatheBoard. Ich werde ihn von da ab in meinen 10. Klassen als Satz von NN (Name deines Lehrers) und MSS behandeln.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das war auch keine Kritik an deinem Beweis. Sondern nur die Anmerkung, dass auch du nicht ohne Grenzwertbetrachtung auskommst.
chocolate4ever Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss schon sagen.
dieser 'leicht verständliche Beweis' ist auch nicht grad einfach zu verstehen. und ich glaube wenn ihr das in ner 9. klasse ,da kommt das gerade und ich bin in ner 9. , erzählt sitzen trotzdem alle mit nem fragezeichen überm kopf da.

lg chocolate
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube auch kaum dass man in der neunten klasse grenzwertprozesse betrachtet und ganz ohne solche kommt wie schon erwähnt wurde wohl kein beweis aus...
chocolate4ever Auf diesen Beitrag antworten »

ja dann frag ich mich echt, warum der ganze sch*** jetz schon drankommt!!
nur weil die beim G8 alles raus schmeißen müssen, was nur irgendwie raus zuschmeißen ist.
und das, was man braucht ist dann nicht dabei. toll...

so wie ich finde, dass die Mitternachtsformel schon letztes jahr hätte dran kommen sollen...

lg TB
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst dich beruhigen, der beweis wird wohl auch kaum auf der schule gemacht...
chocolate4ever Auf diesen Beitrag antworten »

ja naja hast ja iwo schon recht.
aba ich muss den satz auf alle fälle begründen können. ich halt darüber eine präsentation und muss das meinen Klassen kameraden erklären und begründen....

lg chocolate
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

anschaulich begründen ich ganz einfach, nimm zwei stapel bücher, diese bilden einen quader (sofern alle bücher gleich gross sind). wenn man nun anfängt den einen quader ein bischen in sich zu drehen bleibt das volumen gleich....

die begründung ist das prinzip von cavalieri...nur eben um einen exakten beweis zu geben wirst du um untegrationen und die damit verbundenen sätze über die vertauschbarkeit der grenzprozesse nicht herumkommen
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Gib schön an und sage, dass ein mathematisch exakter Beweis mit den Methoden, die euch zur Verfügung stehen, nicht möglich ist und du daher leider darauf verzichten musst Augenzwinkern

(Da fällt mir ein: Ich freu mich schon drauf, wenn ich meiner Jgst den Beweis zu l'Hospital vorführen muss ... das wird ein Spektakel der durch die Menge jagenden "Hä?"s Augenzwinkern )

air
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
(Da fällt mir ein: Ich freu mich schon drauf, wenn ich meiner Jgst den Beweis zu l'Hospital vorführen muss ... das wird ein Spektakel der durch die Menge jagenden "Hä?"s Augenzwinkern )

air


Höre ich da eine gewisse Arroganz der Menge der tumben Toren gegenüber heraus?

Es ist deine Aufgabe, die Menge der "Hä?" möglichst gering zu halten. Du kennst deine Mitschüler. Versuche, dich in die Lage eines mittelmäßig begabten zu versetzen, und gehe von seinen Kenntnissen aus: Wie kannst du ihm abseits aller Rechnungen und formalen Argumente möglichst viel von der Kernidee des Beweises vermitteln? Argumentiere so anschaulich wie möglich: Zeichnungen, Beispiele ...

Wenn du das hinbekommst (sehr schwer!), dann bist du ein guter Vortragender. Ansonsten bist du eben nur ein guter Mathematiker ...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist schon klar, dass ich es für sie verständlich machen muss Augenzwinkern
Aber auch mein Lehrer meinte schon, dass es ein Großteil nicht wirklich verstehen wird, das aber auch okay ist.
Das Problem ist, dass ich 45 Minuten habe. In diesen 45 Minuten muss neben der Idee und Beispielen die Herleitung gemacht werden.
Zur Herleitung muss ich aber auch noch den Satz von Rolle mit reinbringen (also auch erklären etc. etc.).

Das größte Problem ist die Einstellung meiner Klasse. Die haben, doof ausgedrückt, gar kein Bock, sowas zu verstehen Augenzwinkern

Aber gut, das ist OT Wink

air
chocolate4ever Auf diesen Beitrag antworten »

ach jetz wo ich das erst sehe:
@ system-agent, möchte ich mich dafür bedanken, dass du mir ne Möglichkeit erklärt hast, wie ich den Satz erklären kann. Auch an alle anderen ein Dankeschön! Blumen
Ist zwar schon ein bisserl lange her aba naja.
Es ist nie zu spät danke zu sagen.

lg chocolate

(im Übrigen muss ich doch nicht darüber halten, sondern über den Satz von Vieta...als ob das einfacher wäre...)
voessli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
anschaulich begründen ich ganz einfach, nimm zwei stapel bücher, diese bilden einen quader (sofern alle bücher gleich gross sind). wenn man nun anfängt den einen quader ein bischen in sich zu drehen bleibt das volumen gleich....


Nimm statt einem Stapel Bücher nur ein dickes Buch, damit wird das Prinzip noch deutlicher. Du könnstest außerdem 2 Stapel Spielkarten mit einem "Riffle" mischen und damit veranschaulichen, dass Volumen und Höhe proportional sind.

Zitat:
Original von system-agent
die begründung ist das prinzip von cavalieri...nur eben um einen exakten beweis zu geben wirst du um untegrationen und die damit verbundenen sätze über die vertauschbarkeit der grenzprozesse nicht herumkommen


Meiner Meinung ist das schichtweise Aufschneiden und aufsummieren bereits Integration
chocolate4ever Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von voessli

Nimm statt einem Stapel Bücher nur ein dickes Buch, damit wird das Prinzip noch deutlicher. Du könnstest außerdem 2 Stapel Spielkarten mit einem "Riffle" mischen und damit veranschaulichen, dass Volumen und Höhe proportional sind.



wie wird das den mit einem dicken Buch deutlicher??
Und wie erkennt man das am Riffel?

Ich halte zwar nicht mehr darüber, aber es wäre doch mal nett, wenn du mir das kurz noch erklären könntest. Denn schließlich kommt das trotzdem noch am Ende des Schuljahres dran.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal das Bild ganz oben an, hier.
Das ist genau das gleiche Prinzip. Ob man das nun mit einem Bücherstapel, Münzen, Karten, etc macht ist vollkommen egal.
chocolate4ever Auf diesen Beitrag antworten »

ach so ja klar. jetza. ich hab verstanden!
Na mal schaun, ob ich das ganze in 2 Monaten immer noch weiß XD
Leopold *2* Auf diesen Beitrag antworten »
Antworten
Wenn man sich das ganze Thema hier von vorne durchgelesen hat ist man nach einer Zeit um einiges schlauer finde ich smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »