Verteilungsfunktion berechnen

14.05.2008, 10:12

schwamster

Verteilungsfunktion berechnen

Hallo

Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ seien unabhängig identisch U(0,1) verteilt. Wie lautet die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(t) = P(\max_{1\le i\le n} U_i \le t) \end{eqnarray*}$

U(0,1) ist Gleichverteilung, hier haben wir also die Verteilungsfunktion
F(t) = t für 0<t<1
F(t) = 0 für $\begin{eqnarray*} 0\le t \end{eqnarray*}$
F(t)=1 sonst

Wenn ich jetzt einfach mal Annehme, das Maximum sei $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$

Dann soll ich berechnen $\begin{eqnarray*} P(U_k \le t) \end{eqnarray*}$

Nach Definition ist jetzt

$\begin{eqnarray*} F(t) = P(U_k \le t) = P( \{ \omega \in \Omega | U_k(\omega) \le t \} ) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist das vermutlich die Stelle, wo ich die U(0,1) verteilung benutzen muss, aber wie? Also ich weiß hier leider nicht, wie es weitergeht und ob das überhaupt schon sinnvoll war, das aufzuschreiben.

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen, für möglichst detailierte Antworten wäre ich sehr dankbar!!
schwamster

14.05.2008, 10:24

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Wenn das Maximum von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Werten kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist, was bedeutet das für die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einzelnen Werte? Müssen die auch kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein? Alle, oder nur einer? ... Darüber solltest du mal nachdenken. Oder du suchst ein wenig hier im Board, das war nämlich schon einige Male hier Thema.

14.05.2008, 10:42

schwamster

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn das Maximum von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Werten kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist, was bedeutet das für die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einzelnen Werte? Müssen die auch kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein? Alle, oder nur einer? ... Darüber solltest du mal nachdenken.

Wenn das Maximum kleiner ist, dann auch alle anderen n Werte.
ABER: das Maximum der $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ ist ja nur ein einziger Wert. Deswegen meine Verwirrung.
Dass das für alle n Werte gilt, macht die Sache für mich aber auch nicht einfacher.

Zitat:

Original von Arthur Dent
Oder du suchst ein wenig hier im Board, das war nämlich schon einige Male hier Thema.

Kannst du mir da vielleicht ein Stichwort nennen? Wenn ich "Zufallsvariablen, Verteilungsfunktion" eingebe, finde ich nichts hilfreiches für diese Aufgabe, oder habe ich da etwas übersehen?

14.05.2008, 11:14

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"Maximum" sollte schon noch bei den Stichworten mit dabei sein...

Aber was anderes: Bring mal Ordnung in deine Symbole - was sind denn nun deine Ausgangszufallsgrößen, die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ oder die $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ ? Und dann solltest du nicht gleichzeitig das Maximum auch $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ nennen, sondern irgendwie anders, sonst ist das Bezeichnungschaos vorprogrammiert.

14.05.2008, 18:49

schwamster

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Ich habe mal gesucht, aber in meinen Augen leider nichts passendes gefunden.

Es sind immer $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ , ich bin da durcheinander gekommen wegen der U(0,1) Verteilung

Also mit deinem Tip komme ich leider noch nicht ganz zu Recht, ich kann mir noch nicht ganz vorstellen, was du genau meinst.
du meinst doch, ich soll dies berechnen
$\begin{eqnarray*} F(t) = P(\max_{1\le i\le n} X_i \le t) = P(X_1 \le t, X_2 \le t , ... , X_n \le t) \end{eqnarray*}$
Kann man das jetzt noch irgendwie umschreiben, weil diesen Ausdruck habe ich noch nie gesehen, kann es also nicht weiter vereinfachen, sodaß ich damit zur Lösung komme

Könntest du mir vielleiicht detailliert aufschreiben, was ich genau berechnen muss, weil sonst verstehe ich es wohl nie unglücklich

14.05.2008, 19:10

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Zitat:

Original von schwamster
$\begin{eqnarray*} F(t) = P(\max_{1\le i\le n} X_i \le t) = P(X_1 \le t, X_2 \le t , ... , X_n \le t) \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal richtig.

Zitat:

Original von schwamster
Kann man das jetzt noch irgendwie umschreiben, weil diesen Ausdruck habe ich noch nie gesehen, kann es also nicht weiter vereinfachen

Die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sind unabhängig!!! Also ist

$\begin{eqnarray*} P(X_1 \le t, X_2 \le t , \ldots , X_n \le t) = P(X_1 \le t) \cdot P(X_2 \le t) \cdot \ldots \cdot P(X_n \le t) \end{eqnarray*}$ .

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