Grenzwerte

11.01.2006, 17:35

Sigbert

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Grenzwerte

Hallo, ich hab da ein paar Grenzwerte bei den ich einfach nicht weiter kommen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sin(ax)}{x} \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis soll "a" lauten.

Die Regel das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$
ist mir bekannt, aber wie wird da ein "a" aus der 1?

Gruß
Mathias

11.01.2006, 17:36

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hallo.
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sin(ax)}{x}=a\cdot \lim_{x \to 0}\frac{\sin(ax)}{ax} \end{eqnarray*}$ .

Hilft dir das weiter?

Gruß MSS

11.01.2006, 17:36

Dual Space

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Kennst du die L'Hospitalschen Regeln?

Edit: MMS's Variante ist die elegantere!

11.01.2006, 17:44

Sigbert

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sin(ax)}{x}=a\cdot \lim_{x \to 0}\frac{\sin(ax)}{ax} \end{eqnarray*}$ .

Tut mir leid, ich versteh nich wo das a aufeinmal her kommt, ich weis weder was MMS ist noch hab ich mit der L'H-Regel gearbeitet.

11.01.2006, 17:47

Dual Space

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MMS ist Mathespezialschüler und wenn du die Regel von L'Hospital nicht kennst halt dich halt an MMS's Vorschlag. Der Bruch wurde nur mit a erweitert.a ist Konstant und kann also vor den Limes geschrieben werden.

@MSS: Hammer

Hammer

SORRY!!!!!

11.01.2006, 17:47

JochenX

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MMS ist einfach die falsche schreibweise von MSS (mathespezialschüler), der hat da oben auch gepostet, siehst du? smile

smile

mit a wurde der bruch nur erweitert, damit im sinusargument das gleiche wie im nenner steht.
danach weißt du vielleicht den hinteren grenzwert, dieser ist recht bekannt, ich sehe gerade, du hast ihn selbst schon hingeschrieben

mfg jochen

edit: MSS MSS MSS
das habe ich doch auch gerne falsch gemacht LOL Hammer

LOL Hammer

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11.01.2006, 17:58

Sigbert

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Alles klar danke MMS Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich nehm die Variante jetzt mal so mit.

Der Thread heist (leider) nicht umsonst Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x - 14} \end{eqnarray*}$

normal würde ich -2 einsetzten und ausrechnen, aber da nicht 0 sondern 4/9 rauskommen soll hab ich von dieser Variante schnell abgelassen.

Wie stellt man das denn um damit man etwas sinnvolles raus kommt.

11.01.2006, 18:03

Dual Space

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Zitat:

Original von Sigbert
normal würde ich -2 einsetzten und ausrechnen ...

Wird schwierig ohne durch Null zu dividieren, oder?

11.01.2006, 18:08

Sigbert

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eben gerade deshalb..

11.01.2006, 18:11

Dual Space

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Klammere die höchste Potenz des Nenners (hier $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ) im Nenner und im Zähler aus.
Edit: Vergiss meinen Tipp schnell wieder, das funktioniert hier nicht (habe wohl $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ im Sinn gehabt)! Sorry!

11.01.2006, 18:14

JochenX

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NEIN, das ist ein völlig falscher ansatz (edit: selbst gererkt, gut)

-2 ist NST in zähler UND nenner, kann also je "abgespalten werden"
schreibe zähler und nenner je als polynompridukt (x+2)*(......) und kürze (x+2) [was du tun kannst, da x ja nicht -2 ist]

(.....) findest du gegebenenfalls durch polynomdivision

11.01.2006, 18:22

Sigbert

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Hmm jetzt hab ich die ganzen Brüche als Latex geschrieb und du hast selber schon gemerkt.. egal.

Also mit Polynomen
/edit sorry bei den Werten in der Zeile verrutscht...

ist das so richtig? Aber kommt auch nur 4 bei rum jetzt fehlt noch das Neuntel

11.01.2006, 18:27

Dual Space

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Übrigens ist der Grenzwert der der obigen Funktion tatsächlich 0. Ich denke der Nenner sollte $\begin{eqnarray*} x^2+5x-14 \end{eqnarray*}$ heißen, oder?

Edit: Ich bin off, hab eben $\begin{eqnarray*} x\to 2 \end{eqnarray*}$ gelesen, was mal wieder nicht stimmte. Also bis morgen!

11.01.2006, 18:28

JochenX

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Zitat:

Original von Sigbert
Hmm jetzt hab ich die ganzen Brüche als Latex geschrieb und du hast selber schon gemerkt.. egal.

Also mit Polynomen
/edit sorry bei den Werten in der Zeile verrutscht...

ist das so richtig? Aber kommt auch nur 4 bei rum jetzt fehlt noch das Neuntel

diesen beitrag kann ich überhaupt nicht nachvollziehen
an wen ist der gerichtet? und vor allem, was ist die aussage dahinter?

hast du meinen tipp mit dem ausklammern und kürzen befolgt?

edit: nachrechnen st....wieauchimmer; x=-2 ergibt für -5x +10, 4+10-14=0
edit: und schon wieder hast dus selbst gemerkt, kopf hoch, solche tage hat jeder mal! smile

smile

11.01.2006, 18:35

Sigbert

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Sorry ich hatte den für die falsche Formel ausgeklammer darum is nur Mist bei rum gekommen.

Hier also richtig.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-7)} = \frac{-2-2}{-2-7} = \frac {4}{9} \end{eqnarray*}$

PS.: war gegen -2.. wie gesagt in der Zeile verrutscht.

danke schön!

um nochmal auf das leidige Problem mit dem Sinus zurück zu kommen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin {10x}}{5x-\sin{2x}} \end{eqnarray*}$
/edit bin bei der Formel schonwieder ind er Zeile verrutscht, tut mir leid

11.01.2006, 18:43

Mathespezialschüler

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Einfach mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ erweitern!

Gruß MSS

11.01.2006, 19:04

Sigbert

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Um das mal auf den Zähler zu beschrenken.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x + sin(10x)}{x} \end{eqnarray*}$

ich kann ja nicht einfach x ausklammern oder? Das geht ja mit dem Sinus nicht ganz zusammen?

11.01.2006, 19:08

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\cdot (3x+\sin 10x)=\frac{1}{x}\cdot 3x+\frac{1}{x}\cdot\sin 10x=3+\frac{\sin 10x}{x} \end{eqnarray*}$ .

Das Gleiche mit dem Nenner.

Gruß MSS

11.01.2006, 19:15

Sigbert

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oha, danke.

dann hätt ich noch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt[10]{x^7} + 2\sqrt{x} }{\sqrt[7]{x^5} - 5\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$

ich versuch das mal mit dem L'H

11.01.2006, 19:18

Mathespezialschüler

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Die Wurzeln in Potenzen umschreiben und anschließend die höchste Potenz des Nenners ausklammern in Zähler und Nenner. Kürzen und dann den Grenzwert bilden. L'Hospital ist hier überflüssig und umständlich.

Gruß MSS

11.01.2006, 19:40

Sigbert

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Jop danke MMS

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^\frac{7}{10}+2x^\frac{1}{2}}{x^\frac{5}{7}-5x^\frac{1}{3}} = \frac{x^\frac{5}{7}(x^-\frac{7}{10}+2x^-\frac{1}{2})}{x^\frac{5}{7}(1-5x^-\frac{8}{21})}=\frac{0+0}{1-0}=0 \end{eqnarray*}$

11.01.2006, 19:58

Mathespezialschüler

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Ich heiße immer noch MSS. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im Zähler hast du falsch bzw. gar nicht ausgeklammert!!!

Gruß MSS

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