Trigonometrische Gleichungen

11.01.2006, 17:38

celia

Trigonometrische Gleichungen

hi,
ich versteh nicht wirklich was Trigonometrische Gleichungen sind.
Ein Beispiel: sin x + cos x = 0 oder sin (3x-1) = 2cos (3x-1)
Wie rechne ich das? Kann mir bitte einer weiterhelfen..
wär schön noch heute
DANKE

11.01.2006, 17:40

klarsoweit

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RE: Trigonometrische Gleichungen
Grundsätzlich kannst du sin oder cos über den trigonometrischen Pythagoras umwandeln. Dann noch sin(x) = z setzen und die Gleichung sieht einigermaßen vernünftig aus.

11.01.2006, 17:44

MrPSI

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meistens wird der Cosinus durch den Sinus ausgedrückt oder umgekehrt.
Dann kommt auf die eine Seite ein Sinusausdruck und auf die andere der andere Sinusausdruck.
Dann geht man wie folgt vor: wenn der Sinus, also ein Seitenverhältnis, gleich ist, so muss logischerweise auch der Winkel gleich sein, sprich, man darf das was in der Klammer steht herausnehmen und als eigene Gleichung behandeln.
Aber Vorsicht: Sinus, Cosinus u.a. Winkelfuntktionen haben eine Periode, d.h. mehreren Winkeln kann man denselben Funktionswert bzw. dasselbe Seitenverhältnis zuordnen.

//edit: war wieder mal zu langsam. Ich hoffe aber dennoch, dass meine Erklärung so richtig ist, denn ich habe sowas noch nie selbst gerechnet, sondern nur mal solche Beispiele angeschaut und ein bisschen logisch überlegt.

11.01.2006, 17:45

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Bei den beiden Gleichungen ist allerdings eher der Tangens anratsam. Also vorher jeweils durch den Kosinusterm dividieren.

11.01.2006, 17:57

celia

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Trigonometrische Gleichungen
ja aber wie rechne ich jetzt die beiden aufgaben? lösungsvorschläge wären schön..

11.01.2006, 18:13

celia

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Trigonometrische Gleichungen
könnte sich bitte noch einer die aufgaben ansehen und was ist der trigonometrische pythagoras???
bitte helft...

11.01.2006, 18:19

klarsoweit

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RE: Trigonometrische Gleichungen
Bitte nicht drängeln. Wir sind nicht auf der Flucht. unglücklich

trig. Pythagoras: $\begin{eqnarray*} sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

sin x + cos x = 0
Du kannst auch durch cos(x) dividieren und mit Tangens arbeiten. Kommt drauf an, ob du den Tangens kennst.

11.01.2006, 18:27

celia

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Trigonometrische Gleichungen
ja tut mir leid...
na tanx = sinx : cosx oder?
und bei der zweiten sin (3x-1) = 2cos (3x-1)
wie geht das da?

11.01.2006, 18:33

mYthos

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Eigentlich heissen solche Gleichungen: Goniometrische Gleichungen (die Variable ist ein Winkel als Argument einer Winkelfunktion).

Die Division durch cos(..) ist nur dann möglich, wenn (cos(..) nicht Null werden kann. In beiden Gleichungen kann (und soll) dies auch gemacht werden, wir erhalten dann (wegen der gleichen Argumente) eine Tanges-Funktion.

Dies hat den Vorteil, dass sich auf diesem Wege nur richtige Lösungen ergeben, hingegen bei Beibehaltung von sin, cos wegen der Quadratur der Wurzel auf jeden Fall die Hälfte der Ergebnisse falsch sind.

Man muss daher (wie in einer Wurzelgleichung) alle Ergebnisse durch Einsetzen in die gegebenen Gleichungsterme verifizieren (Probe)!

Gr
mYthos

[Edit:]

Beisp. 1.: Dividiere beide Seiten der Gleichung durch cos(x)

Beisp. 2.: Dividiere beide Seiten der Gleichung durch cos(...)

11.01.2006, 18:54

celia

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Trigonometrische Gleichungen
ja aber wie sieht das jetzt aus?

11.01.2006, 18:58

mYthos

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sin(x) = -cos(x)

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{cos(x)} = -1 \end{eqnarray*}$

jetzt links die neue Winkelfunktion einführen .....

11.01.2006, 20:25

celia

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Trigonometrische Gleichungen
danke. könnte jetzt noch einmal von der 2. autgabe die lösung kommen. sin (3x-1) = 2cos (3x-1)
wäre nett

11.01.2006, 20:48

celia

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Trigonometrische Gleichungen
bitte bitte helft Hilfe

11.01.2006, 21:57

mYthos

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Na, genau so wie bei der ersten Aufgabe,
durch cos(3x - 1) dividieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(3x - 1)}{cos(3x - 1)} = 2 \end{eqnarray*}$

Weisst du jetzt weiter?

13.06.2007, 10:19

knurps

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Hi mYthos und alle anderen!

Zitat:

Dies hat den Vorteil, dass sich auf diesem Wege nur richtige Lösungen ergeben, hingegen bei Beibehaltung von sin, cos wegen der Quadratur der Wurzel auf jeden Fall die Hälfte der Ergebnisse falsch sind.

Mit diesem Problem befasse ich mich gerade und es gefällt mir nicht die Lösungen durch Probe zu verifizieren!

Da muß es doch noch eine andere, aus dem Phänomen der Quadratur kommende Möglichkeit geben, die falschen Werte zu erkennen und auszuschliessen. (Die Variante, das Ganze durch den cos zu teilen ist natürlich unter separater Berücksichtigung der Werte pi/2 und 3pi/2 auch O.K.)
Aber, wenn Mathematik ein in sich schlüssiges System ist und davon gehe ich aus, muß doch durch mathematische Gesetze vernüftig ausgeschlossen werden können.

Ich hab schon allerhand durchgerechnet und probiert bin aber auf kein vernünftiges System gekommen.
z.B. wird durch die Quadratur ein möglicherweise negativer Wert positiv, das führte mich dann zu einer Fallunterscheidung:
z.B. für die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2sin(x) + 2cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow sin(x) + cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt{1 - cos^2 (x)} + cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt{1 - cos^2 (x)} = - cos(x) \end{eqnarray*}$

__________________________________________________
Dann quadrieren unter Berücksichtigung der Fälle:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} - cos(x) < 0 \Leftrightarrow cos(x) > 0 \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} - cos(x) > 0 \Leftrightarrow cos(x) < 0 \end{eqnarray*}$
__________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1 - cos^2 (x) = cos^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1 = 2 cos^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = cos^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{2}} = cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sqrt{2} = cos(x) \end{eqnarray*}$

__________________________________________________________
Und noch vergessen: erzeugt noch mehr Lösungen, die ich hier aber nicht weiter untersuchen wollte!
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \sqrt{2} = cos(x) \end{eqnarray*}$
__________________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2 = - \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich mal von den sich periodisch wiederholenden Lösungen ab.

Die einzig richtige Lösung ist ja:

$\begin{eqnarray*} x_1 = - \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Wie könnte mir nun die Fallunterscheidung, für ein Ausschlussverfahren für den falschen Wert $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ weiterhelfen?

Irgendwie finde ich gar nichts!

Bei Fall 1 liegen für:

$\begin{eqnarray*} cos(x) > 0 \end{eqnarray*}$

die x-Werte bei:

$\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Bei Fall 2 liegen für:

$\begin{eqnarray*} cos(x) < 0 \end{eqnarray*}$

die x-Werte bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Natürlich auch symetrisch negativ und periodisch wiederholt.

Also liegen die gefundenen Werte:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = - \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

beide in Bereich von Fall eins und das Ganze bringt mir nichts für ein Ausschlußverfahren!

Hat irgendjemand eine Idee dazu???????????????

Oder gibt es kein Ausschlußverfahren, was mich aber doch sehr wundern würde!!!!!!

Nochmals korregiert, da eine Plus-minus-vertauschung des richtigen und falschen Wertes vorlag!

13.06.2007, 15:05

mYthos

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Hallo!

Es steht nun mal fest, dass durch das Quadrieren, welches zwar in einer Richtung eine Äquvalenzumformung darstellt, aber eben nicht umkehrbar ist (aus $\begin{eqnarray*} a = b \rightarrow a^2 = b^2 \end{eqnarray*}$ , aber nicht aus $\begin{eqnarray*} a^2 = b^2 \end{eqnarray*}$ notwendigerweise $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$ ), zusätzliche (falsche) Lösungen entstehen. Das passiert nicht nur wie hier bei goniometrischen Gleichungen, sondern vor allem auch im Bereich von Wurzelgleichungen, die ausschliesslich durch Potenzieren zu lösen sind.

Es bleibt das richtige Verfahren, zunächst die Definitionsmenge festzulegen und danach die erhaltenen Lösungen in die anfangs gegebenen Gleichungen zurück einzusetzen und diese damit auf deren Richtigkeit zu prüfen. Das ist ganz und gar nicht ein "unmathematisches" Vorgehen!

Gleichungen der Art

$\begin{eqnarray*} a \sin f(x) + b \cos f(x) = c, \ \ a, b \neq 0 \end{eqnarray*}$

löst man immer korrekt, indem man sie in

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin f(x)}{\cos f(x)} = z \end{eqnarray*}$

umformt und den Bruch in eine Tangensfunktion überführt.

mY+

14.06.2007, 09:13

knurps

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Hallo mYthos!
Danke für die Antwort ... schade ...

Na ja,der Begriff unmathematisch war vielleicht nicht ganz korrekt ...
Aber irgendwie fand ich das verifizieren durch eine Probe irgendwie unbefriedigend.

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