Holomorph??

11.01.2006, 18:10

Ambrosius

Holomorph??

Hallo, ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x + i*y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ holomorph?
Ich denke ich kann das so machen:
Ich schreibe $\begin{eqnarray*} f(x + i*y) = x^2 + y^2 = x^2 + y^2 +i*0 \end{eqnarray*}$
Dann leite definiere ich mir $\begin{eqnarray*} u(x,y) := x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y) := 0 \end{eqnarray*}$ , leite die ab und überprüfe die Cauchy-Riemann DGL.
Kann ich das so machen???

11.01.2006, 18:23

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Holomorph??

Zitat:

Original von Ambrosius
Dann leite definiere ich mir $\begin{eqnarray*} u(x,y) := x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y) := 0 \end{eqnarray*}$ , leite die ab und überprüfe die Cauchy-Riemann DGL.
Kann ich das so machen???

Ja, kannst du so machen. Vielleicht kennst du auch die Bedingung, dass Real- und Imaginärteil (notwendigerweise) harmonische Funktionen sein müssen (damit ließe es sich hier auch sehen).

Grüße Abakus smile

11.01.2006, 18:28

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben heut erst damit angefangen. also ist f nicht holomorph.
jetzt noch ne idee von mir:
was ist denn im nullpunkt? da wäre holomorphie doch gegeben oder nicht?

(wie gesagt: heut erst angefangen. möglicherweise völliger stuss)

11.01.2006, 19:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sagt, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist holomorph an der Stelle $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , so meint man damit definitionsgemäß, daß es eine ganze Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ gibt, in der $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist, also, was dasselbe ist, reell differenzierbar im Sinne von Stolz zusammen mit dem Bestehen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Jetzt ist zwar

$\begin{eqnarray*} f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2 \ \mbox{für} \ z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

komplex differenzierbar bei $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ , aber eben nicht in einer ganzen Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist daher nicht holomorph bei 0.

Das verstanden zu haben, ist ganz wichtig. Es ist das grundlegende Prinzip, auf dem die ganze komplexe Analysis steht.

11.01.2006, 19:16

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

11.01.2006, 19:24

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu unterscheiden sind Holomorphie und komplexe Differenzierbarkeit. Letzteres wäre ggf. zu untersuchen in 0.

Holomorphie ist eine Eigenschaft, die für offene Mengen definiert ist. D.h. f holomorph in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass es eine offene Umgebung D von z gibt, so dass f in ganz D komplex differenzierbar (und damit in ganz D holomorph) ist. Holomorph in nur einem isolierten Punkt gibt es also nicht.

Grüße Abakus smile

EDIT: (Leopold hat es schon beantwortet..., dem schließe ich mich an.)

Neue Frage »

Antworten »

Holomorph??

Verwandte Themen