Nichtantizipativität entspricht Messbarkeit

11.01.2006, 18:24

Ben Sisko

Nichtantizipativität entspricht Messbarkeit

Hallo zusammen,

vielleicht könnt ihr mir bei einer Verständnisfrage helfen. Ich präsentier erstmal den fraglichen Text im Original, will ja den Sinn nicht verändern, indem ich vielleicht ungenau übersetze Augenzwinkern

Zitat:

We consider a finite horizon sequential decision process under uncertainty, in which a decision made at stage t is based only on information available at t ( $\begin{eqnarray*} 1\leq t\leq T \end{eqnarray*}$ ). We assume that the information is given by a discrete time stochastic process $\begin{eqnarray*} \{\xi_t\}_{t=1}^T \end{eqnarray*}$ defined on some probability space $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak{F},P) \end{eqnarray*}$ and with $\begin{eqnarray*} \xi_t \end{eqnarray*}$ taking values in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{s_t} \end{eqnarray*}$ . The information available at stage t consists of the random vector $\begin{eqnarray*} \xi^t:=(\xi_1,...,\xi_t) \end{eqnarray*}$ , and the stochastic decision $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ st stage t varying in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{m_t} \end{eqnarray*}$ is assumed to depend only on $\begin{eqnarray*} \xi^t \end{eqnarray*}$ . The latter property is called nonanticipativity and is equivalent to the measurability of $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ with respect to the $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F}_t \subseteq \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ which is generated by $\begin{eqnarray*} \xi^t \end{eqnarray*}$ .

Die letzte Aussage kann ich nicht nachvollziehen, warum die Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ bzgl. der Filtration der Nichtantizipativität entspricht. Hat jemand einen Tipp?

Ich hoffe in dem Abschnitt ist alles drin, was zum Verständnis nötig ist, ansonsten fragt nochmal nach!

Vielen Dank,
Gruß vom Ben

11.01.2006, 19:03

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Zitat:

Original von Ben Sisko
the stochastic decision $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ st stage t varying in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{m_t} \end{eqnarray*}$ is assumed to depend only on $\begin{eqnarray*} \xi^t \end{eqnarray*}$ .

Das verstehe ich so, dass man eine deterministische Funktion $\begin{eqnarray*} d_t \end{eqnarray*}$ (also noch vom Zeitpunkt abhängig) so angeben kann, dass die Entscheidung gemäß

$\begin{eqnarray*} x_t = d_t(\xi^t)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

getroffen wird. Und da $\begin{eqnarray*} \xi^t \end{eqnarray*}$ messbar bzgl. der Filtration $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F}_t \end{eqnarray*}$ ist, ist es jedes Funktional davon auch.

Oder interessiert dich jetzt die Umkehrung, d.h. dass jede $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F}_t \end{eqnarray*}$ -messbare Entscheidungsregel in der Form (*) dargestellt werden kann? Die krieg ich jetzt nicht so schnell auf die Reihe...

EDIT: $\begin{eqnarray*} \xi_t \end{eqnarray*}$ war falsch, ich meine natürlich den ganzen Vektor $\begin{eqnarray*} \xi^t \end{eqnarray*}$ .

11.01.2006, 19:28

Ben Sisko

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Hallo Arthur,

die eine Richtung hast du schon einmal super erklärt, sozusagen den knappen Text für mich aufgefüllt, danke Mit Zunge

Das war erst einmal die wichtigere Richtung. Über die Umkehrung denke ich nachher noch einmal nach oder morgen, hab jetzt leider keine Zeit mehr. Müsste aber vermutlich daraus folgen, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F}_t \end{eqnarray*}$ gerade von $\begin{eqnarray*} \xi^t \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, oder?

Gruß vom Ben

18.01.2006, 13:08

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Hallo Arthur (und andere Interessierte Augenzwinkern

),

was verstehst du denn hier darunter, dass $\begin{eqnarray*} d_t \end{eqnarray*}$ deterministisch ist? Dass $\begin{eqnarray*} d_t(\xi^t) \end{eqnarray*}$ nur über $\begin{eqnarray*} \xi^t \end{eqnarray*}$ vom Zufall abhängt, also d(y) als Funktion sozusagen nicht, nehm ich an. So recht klar ist es mir jedoch nicht.
Braucht man Messbarkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} d_t \end{eqnarray*}$ ? (Dazu müsste mir erst einmal klar sein, von wo nach wo $\begin{eqnarray*} d_t \end{eqnarray*}$ überhaupt abbildet. Von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{s_t \cdot t} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{m_t} \end{eqnarray*}$ ?).

Verwirrung!! verwirrt

Gruß vom Ben

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