exponentieller Wachstumsprozess

11.01.2006, 19:35

Paradiso

exponentieller Wachstumsprozess

Ich brauche schnell hilfe bei Diesen Aufgabentypen
nach 0 h beträgt die masse einer bakterienkultur 1,2g
nach 2h beträgt die masse 4,1 g.
Wie berechne ich nach welcher zeit 30 g vorhanden sind?unser Lehrer sagt wir sollen es ist exponentiell.
Wir haben öfters solche Aufgaben, doch ich komme nicht klar mit diesen Typen.
Könnt ihr mir diese Aufgabe einmnal vorrechnen und erlären?

edit: Titel geändert, bitte wähle einen aussagekräftigen Titel, der dein Thema beschreibt! (MSS)

11.01.2006, 19:58

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Hallo.
Du hast ja schonmal zwei Wertepaare gegeben. Zum einen $\begin{eqnarray*} (0;1,2) \end{eqnarray*}$ und zum anderen $\begin{eqnarray*} (2;4,1) \end{eqnarray*}$ .
Diese beiden Wertepaare setzt du nun in die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=a\cdot k^{x} \end{eqnarray*}$ ein und errechnest nacheinander die Werte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aus dem Gleichungssystem.

Anschließend setzt du $\begin{eqnarray*} y=30 \end{eqnarray*}$ in deine soeben gewonnene Funktionsgleichung ein und errechnest $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

11.01.2006, 20:14

Paradiso

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Ja kannst du mir das bitte EInmal..EINMAL nur vorrechnen ich kriege das nicht hin.Ein ähnliches Problem hab ich auch schonmal gepostet kurze frage

PLz

OHOHOH soRRY SO HEISST DER LINK Fiese Textaufgabe

11.01.2006, 20:20

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Ich glaube, wenn ich es dir vorrechne, wirst du es dir nicht so gut merken können. Selbst etwas erkennen bring mehr - mir zumindest!
Die Ähnlichkeit dieser beiden Probleme habe ich auch schon erkannt, aber bei beiden verwendest du das selbe Verfahren.
Stell doch am besten erstmal das Gleichungssystem mit den gegebenen Wertepaaren auf. Dann werde ich weiteres Weiteres erklären!

11.01.2006, 20:42

Paradiso

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ja ok ich probiere es mal
1,2=a*k^0
4,1=a*k^2
so richtig?
Ahc und ich hab noch eine Lösung so wie wir solche aufgaben immer in der schule gelöst haben:

50=0xa^5 |:24 5te wurzel
(50/24)^0,2=a
c*(50/24)^0,2*3 /(50/24)^0,2*3
c=3/(50/24^0,2*3)

Dies ist jetzt das Bsp aus edr SChule mit anderen Zahlen

Nur gerade ist mir aufgefallen das ich schlechte werte gewählt habe für dieses bsp, da man ja mit 0 multiplizieren muss.

11.01.2006, 20:51

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Zitat:

Original von Paradiso
1,2=a*k^0
4,1=a*k^2
so richtig?

Ja, genau so ist es korrekt.

Dann kannst du unter Berückichtigung von $\begin{eqnarray*} x^{0} =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ berechnen (schau dir dafür deine erste Gleichung genauer an).
Diesen Wert setzt du dann in die zweite Gleichung ein und stellst diese dann nach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ um. Die Werte für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ setzt du dann in $\begin{eqnarray*} y=a\cdot k^{x} \end{eqnarray*}$ ein und du erhälst die Funktionsgleichung.
Soweit erstmal umsetzen und dann geht's weiter Augenzwinkern

11.01.2006, 21:04

Paradiso

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1,2=a*k^0
dann fass ich mal k^0 zu 1 zusammen ok?
1,2=a*1
Ja dann ist a =1,2

4,1=1,2*k^2 | /1,2
4,1/1,2=k^2 | 2te wurzel
2te wurzel(4,1/1,2)=k 2te wurzel ist doch x^1/2????

aber das geht ja nicht wenn a ungleich null ist weil wir dann ja nicht wissen das a^x eine bestimmte zahlt wie hier eben 1 ist

1,2=1,2*2te wurzel(4,1/1,2)^0 <--kann doch irgendwie nciht stimmen o0
4,1=1,2*2te wurzel(4,1/1,2)^2

11.01.2006, 21:15

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Zitat:

Original von Paradiso
1,2=a*k^0
dann fass ich mal k^0 zu 1 zusammen ok?
1,2=a*1
Ja dann ist a =1,2

4,1=1,2*k^2 | /1,2
4,1/1,2=k^2 | 2te wurzel
2te wurzel(4,1/1,2)=k 2te wurzel ist doch x^1/2????

Genau.

Dann hast du die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=1,2\cdot \sqrt{(\frac{4,1}{1,2} )}^{x} \end{eqnarray*}$ . Jetzt setzt du für $\begin{eqnarray*} y=30 \end{eqnarray*}$ , da du ja in deiner Ausgangsausgabe 30g suchst. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist dann die Anzahl der Stunden.

Zitat:

Original von Paradiso
1,2=1,2*2te wurzel(4,1/1,2)^0 <--kann doch irgendwie nciht stimmen o0

Doch, das stimmt schon: $\begin{eqnarray*} 1,2= 1,2\cdot \sqrt{\frac{4,1}{1,2} }^{0} \\1,2= 1,2\cdot 1\\1,2= 1,2 \end{eqnarray*}$

11.01.2006, 21:18

Paradiso

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ja aber das geht doch nicht wenn a nich 0 sondern irgendeine andere zahl ist weil ich dann ja nicht sicher sagn kann das k^0 ^ist ?kannst du mirr das eben noch erklären ich wollte das heute endlich schonmal durchblicken.
Den rechenweg den ich jezt durchgeführt hab verstehe ich nur weiss ich net wie ich handeln muss wen a nich 0 ist

11.01.2006, 21:58

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Zitat:

Leider finde ich auf die Svchnelle bei dieser Exponentialfunktion keine andern Werte, die schön rund sind. Desshalb nehme ich das Wertepaar $\begin{eqnarray*} (3; (1,2 \cdot \sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3} )) \end{eqnarray*}$ . nehmen wir einmal an, dass dieses Wertepaar und $\begin{eqnarray*} (2; 4,1) \end{eqnarray*}$ gegeben sind.
Du hättest dann das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}=a\cdot k^{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4,1=a\cdot k^{2} \end{eqnarray*}$ .

Dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}=( \frac{4,1}{k^{2} } )\cdot k^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}}{4,1} = \frac{k^{3}}{k^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}}{4,1} = k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4,1=a \cdot [\frac{\sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}}{4,1}]^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=\frac{4,1}{[\frac{\sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}}{4,1}]^{2}} \end{eqnarray*}$
Also ist die Funktion $\begin{eqnarray*} y=[\frac{4,1}{(\frac{\sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}}{4,1})^{2}}] \cdot [\frac{\sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}}{4,1}]^{x} \end{eqnarray*}$
Es geht also auch, wenn $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$

Hoffentlich hab ich jetzt keinen Fehler drin...
EDIT: Ich sehe grad, da dort ein Fehler drin ist. Ich werde ihn morgen korrigieren...

Ok, ich gebe zu, das war ein bisschen undurchsichtig geschrieben.
Um das zu ändern substituiere ich jetzt $\begin{eqnarray*} z=1,2 \cdot \sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3} \end{eqnarray*}$ , also habe ich jetzt die Wertepaare $\begin{eqnarray*} (3;z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2;4,1) \end{eqnarray*}$ .
Das Gleichungssystem leutet also $\begin{eqnarray*} z=a\cdot k^{3} \\4,1=a\cdot k^{2} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{z}{k^{3}}=a \end{eqnarray*}$ .
Wenn man sie ineinander eisetzt erhält man $\begin{eqnarray*} 4,1=\frac{z}{k^{3}}\cdot k^{2} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} 4,1\cdot k^{3}=z\cdot k^{2}\\\frac{k^{3}}{k^{2}}=\frac{z}{4,1}\\k=\frac{z}{4,1}\\k=\frac{1,2 \cdot \sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}}{4,1}=1,848422... \end{eqnarray*}$
Das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ jetzt in die andere Gleichung eisetzten:
$\begin{eqnarray*} z=a\cdot k^{3}\\z=a\cdot (\frac{z}{4,1} )^{3}\\z=a\cdot \frac{z^{3}}{4,1^{3}}\\4,1^{3} \cdot z=a\cdot z^{3}\\\frac{4,1^{3}\cdot z}{z^{3}}=a\\\frac{4,1^{3}}{z^{2}}=a\\a=\frac{4,1^{3}}{(1,2 \cdot a\sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3})^{2}}=1,2 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} y=1,2\cdot(\frac{1,2 \cdot \sqrt{\frac{4,1}{1,2}}^{3}}{4,1})^{x} \end{eqnarray*}$ und das ist ja die identische Gleichung, wie bei dem Beispiel, wo du das Wertepaar $\begin{eqnarray*} (0;1,2) \end{eqnarray*}$ gegeben hattest.
Ich denke das ist überzeugend genug Augenzwinkern

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