Grenzwert

11.01.2006, 19:39

Gast0

Grenzwert

Hallo,

Wie kann ich den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ~ \frac{\left| \cos{( \frac{ \pi }{x+ \frac{2}{3}})} \right|}{x} \end{eqnarray*}$ berechnen?
Zuerst habe ich an sinx/x gedacht, was ja gegen 1 geht, aber das scheint hier irgendwie nicht der Fall zu sein verwirrt

11.01.2006, 19:44

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Dieser Grenzwert existiert nicht. Das liegt an den Betragsstrichen im Zähler, die im Nenner nicht vorhanden sind - vielleicht ein Schreibfehler?

Gruß MSS

11.01.2006, 19:45

Gast0

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wie zeige ich dann, dass er nicht existiert ?
Kein Schreibfehler, die Aufgabe war auch nicht explizit den Grenzwert auszurechnen.

11.01.2006, 19:53

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du zeigen kannst, dass der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}{x} \end{eqnarray*}$

existiert und $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, bist du fertig. Sei

$\begin{eqnarray*} f(x):=\cos\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}=\cos\frac{3\pi}{3x+2} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x\neq -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(0)=\cos\frac{3\pi}{2}=0 \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}{x}=\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wegen der Kettenregel differenzierbar ist, folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ kannst du, wie gesagt, mit der Kettenregel berechnen. Der Rest sollte ein leichtes sein.

Gruß MSS

11.01.2006, 19:58

Gast0

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, verstehe. Gute Idee, danke!

12.01.2006, 09:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn du zeigen kannst, dass der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}{x} \end{eqnarray*}$

existiert und $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, bist du fertig.

Ich stehe vermutlich auf dem Schlauch. verwirrt

Warum muß der Grenzwert ungleich Null sein?
Und was ist mit den Betragsstrichen?

12.01.2006, 12:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 0}\frac{\left|\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}\right|}{x}=\lim_{x\searrow 0}\frac{\left|\cos{\frac{\pi}{-x+\frac{2}{3}}}\right|}{-x}=\lim_{x\searrow 0}\frac{\left|\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}\right|}{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\lim_{x\searrow 0}\frac{\left|\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}\right|}{x}=-\left|\lim_{x\searrow 0}\frac{\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}}{x}\right|=-\left|\lim_{x\to 0}\frac{\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}}{x}\right| \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\frac{\left|\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}\right|}{x}=\left|\lim_{x\searrow 0}\frac{\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}}{x}\right|=\left|\lim_{x\to 0}\frac{\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}}{x}\right| \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 0}\frac{\left|\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}\right|}{x}=\lim_{x\searrow 0}\frac{\left|\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}\right|}{x} \end{eqnarray*}$

genau dann gilt, wenn

$\begin{eqnarray*} -\left|\lim_{x\to 0}\frac{\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}}{x}\right|=\left|\lim_{x\to 0}\frac{\cos{\frac{\pi}{x+\frac{2}{3}}}}{x}\right| \end{eqnarray*}$

stimmt. Und das kann nur dann der Fall sein, wenn ... naja, siehe oben. Augenzwinkern

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert

Verwandte Themen