Gauß-Integration

14.05.2008, 15:04	Anne111	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Integration Hallo! Ich dachte ich hätte eine ganz einfache Frage zur Gauß-Integration, finde sie aber leider nirgendswo beantwortet: Ich möchte eine Funktion mittels der Gaußquadratur integrieren und benötige dazu die Nullstellen des n-ten Legendre-Polynoms und die Integrationsgewichte. Was sagen mir diese??? Woher kommen sie - einfach weil ich eine möglichst hohe Integrationsordnung haben will und deswegen diese einfach die Lösung sind? Gibt es sonst eine Erklärung? Vielen Dank im Voraus, Anne Merkle
14.05.2008, 15:08	Farsan =)	Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort Zur Frage ich hab da auch keine ahnung^^ aber welche schule gehste? SAG MIR BITTE BESCHEID =) SAG DEINE MSSENGER ADRESSE
14.05.2008, 19:15	H4wk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Bei der Gaußintegration benutzt man nicht zwingend die Legendre-Polynome. Man benutzt allgemein orthogonale Polynome. Die Legendre-Polynome gehören zu einer bestimmten Gewichtsfunktion im Skalarprodukt, nämlich w=1. Die Integrattionsgewichte sind jeweils das Integral über das Produkt der Lagrangepolynome. Für die Gaußformel mit n+1 Stützstellen $\begin{eqnarray} x_0, x_1 \dots x_n \end{eqnarray}$ im Intervall I $\begin{eqnarray} G(f)=\sum_{i=0}^{n} \gamma_i f(x_i) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \gamma_i = \int_{I} w(x) \prod_{k=0, k\neq i}^{n} \frac{x-x_k}{x_i-x_k} dx \end{eqnarray}$
15.05.2008, 23:05	Anne111	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Integration Hallo! Dankeschön für die Antwort. Trotzdem verstehe ich nicht, wie man gerade auf diese Polynome kommt. Gibt es eine Herleitung für diesen Ansatz? Oder fallen sie einfach vom Himmel und es passt gerade, weil sie mit der Ordnung 2n-1 exakt integrieren? Vielen Dank im Voraus Anne
16.05.2008, 08:11	H4wk	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt einen Beweis dafür, dass Polynome vom Grad 2n-1 exakt integriert werden: Sei $\begin{eqnarray} f \in P_{2n-1} \end{eqnarray}$ ein Polynom vom Grad 2n-1 und $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ das n-te Orthogonalpolynom zur Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray} w(x) \end{eqnarray}$ Dann gibt es 2 Polynome q,r vom Grad n-1, sodass $\begin{eqnarray} f=q p_n+r \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} \int_{I} f(x) w(x) dx = \int_{I} q(x) p_n(x) w(x) dx + \int_{I} r(x) w(x) dx = \int_{I} r(x) w(x) dx \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \int_{I} q(x) p_n(x) w(x) dx = <q,p_n> = 0 \end{eqnarray}$ , wobei <,> das Skalarprodukt ist und weil $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ orthogonal zu allen Polynomen vom Grad kleiner n ist. Ausserdem gilt: $\begin{eqnarray} G(f) = \sum_{i=0}^{n-1} \gamma_i f(x_i) = \sum_{i=0}^{n-1} \gamma_i (q(x_i) p_n(x_i) + r(x_i)) = \sum_{i=0}^{n-1} \gamma_i r(x_i) \end{eqnarray}$ , weil die $\begin{eqnarray} x_i , i = 0, 1, \dots, n-1 \end{eqnarray}$ die Nullstellen des n-ten Orthogonalpolynoms sind. Für $\begin{eqnarray} G(f) = \sum_{i=0}^{n-1} \gamma_i r(x_i) \end{eqnarray}$ kann man beweisen, dass sie Polynome bis zum Grad n-1 exakt integrieren. Somit Integriert die Gauß-Quadratur Polynome bis zum Grad 2n-1 exakt. Hoffe es hilft.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »