Hilfe bei Kurvendiskussion

14.05.2008, 15:08

Torti

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Hilfe bei Kurvendiskussion

Hey,
ich habe folgene Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(\sqrt{x²-1})/(x-2) \end{eqnarray*}$

Ich soll jetzt:
a) Bestimmen sie den Definitionsbereich von f(x)
b) Wo schneidet f(x) die Koordinatenachsen
c) Bestimmen sie die Asymptoten von f(x)

soweit erster mal bestimmen.

a)
x-2=0; x=2 Polstelle bei x=2

Df = R\{2}

b) f(0)
Y: $\begin{eqnarray*} f(0)=(\sqrt{0²-1})/(0-2) \end{eqnarray*}$
daraus folgt Keine Nusstelle

X: f(x)=0
$\begin{eqnarray*} 0=(\sqrt{x²-1})/(x-2) \end{eqnarray*}$

das dann *(x-2) ergibt --> $\begin{eqnarray*} 0=(\sqrt{x²-1}) \end{eqnarray*}$ dann die Wurzel ziehn:

und die Nulstellen sind:
x1=1
x2=-1

c)
vertikale Asymptote:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+} f(x)=(\sqrt{x²-1})/(x-2) \Rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2-} f(x)=(\sqrt{x²-1})/(x-2) \Rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

horizontale Asymptote

Zählergrad größer als Nennergrad daaus folgt keine horizontale Asympote!
--> Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x²-1})/(x-2)= \end{eqnarray*}$

Meine Frage jetzt stimmt das was ich soweit gerechnet habe oder sind da Fehler drin?
Wie mache ich denn eine Polynomdivision mit einer Wurzel ?

14.05.2008, 15:13

Rare676

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zu a) Was ist denn, wenn die Diskriminante negativ wird?

Mit dem Rest machen wir dann weiter...

14.05.2008, 15:17

Torti

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Gute Frage, was ist dann ?

Muss ich als Definitionsbereich dann schreiben:

Df = N\{2} ? das es nur natürliche Zahlen sind ?

14.05.2008, 15:18

Rare676

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Hast du meine Frage überhaupt verstanden?

Kann es passieren das der Teil unter der Wurzel negativ wird? Wenn ja, wann?

Diesen Bereich müsstest du doch auch rausnehmen, weil du ja sicherlich nicht im komplexen rechnen sollst Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2008, 15:19

Torti

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das heisst der Term unter der Wurzel darf auch nicht negativ werden ?

14.05.2008, 15:23

Torti

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²-1} \end{eqnarray*}$

ja, wenn ich für:

x=0 einsetze dann wird es negativ

Aber was ist denn wenn ich z.B
x=1 oder x=-1 einsetze dann ergibt die Wuzel 0 das darf ja auch nicht sein!

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14.05.2008, 15:24

Rare676

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Ja, schau doch einfach mal wann $\begin{eqnarray*} x^2-1<0 \end{eqnarray*}$ wird. Diesen Teil musst du dann rausnehmen aus dem Def. Bereich..

14.05.2008, 15:29

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Torti
...dann ergibt die Wuzel 0 das darf ja auch nicht sein!

Klar ist Wurzel aus 0 erlaubt.

14.05.2008, 15:30

Torti

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Ja, wenn ich zahlen kleiner 1 einsetze für x einsetze

das heisst der Definitionsbereich muss ich so schreiben:

Df=R\{2,x<1}

14.05.2008, 15:34

Rare676

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nein, das ist so nicht richtig.

$\begin{eqnarray*} x^2-1<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

Edit: also für -1<x<1

14.05.2008, 15:43

Torti

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Muss ich dann beim Zähler auch sozusagen die Nullstellen berechnen?

Ich bin mal so frei und Du´s dich^^

Also wenn du sagst der Df Bereich liegt zwischen -1 bis 1

dann setz ich mal für x=1 oder x=-1 ein, dann bekomm ich

1-1 = 0 und 0 ist ja nicht kleiner als 0 sondern genau 0 ?

Oder verraff ich da grad was ?

14.05.2008, 15:54

Rare676

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Nein, da hast du jetzt nicht richtig hingeschaut. Der Def. Bereich gibt an, welche Werte du für x überhaupt einsetzen darfst.

Dabei muss man aufpassen, dass man nicht durch 0 teilt, keine negativen Wurzeln zieht oder auch keine negativen Argumente im log hat.

Das mit dem "durch 0 teilen" hast du ja mit den Polstellen untersucht.
Nun war da aber noch eine Wurzel, die deine Funktion ja auch einschränkt.

Danach hast du untersucht, wann diese negativ wird: für |x|<1 !

Also musst du auch diesen Bereich aus dem Def. Bereich RAUSNEHMEN. Dein Def. Bereich ist keinesfalls der Bereich von -1<x<1.

Ich hoffe, du hast das jetzt nachvollziehen können.

Hast du noch Fragen, sonst gehen wir das mal weiter durch.

zu b)
Meinst du da beim ersten wirklich die Nullstellen? Ich denke nicht.
Deine "2. Nullstellen" sind richtig berechnet, obwohl du da quadrierst und nicht
die Wurzel ziehst.

zu c)

Deine vertikalen Asymptoten sind auch richtig berechnet.

Ich werde jetzt erstmal weg sein. Wenn du noch fragen hast, dann kann dir sicherlich ein anderer freundlicher Helfer helfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bis dann

14.05.2008, 16:26

Torti

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Erster mal vielen Dank bis dahin!

Glaub bei a) habe ich es jetzt glaub verstanden!
Aber ich stell mir gerade noch die Frage wie ich das dann ausschreibe ?

so vielleicht ?

Df=R\{2 und [-1/1]}

b)
Hier bestimm ich den Y-Achsenabschnitt! Ist das nicht richtig ?

c)
Wie berechne ich denn die horizontalen Asymptoten ?

15.05.2008, 10:01

TheWitch

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Zur Schreibweise: Die könnte zum Beispiel sein $\begin{eqnarray*} D_f = \{{x \in \mathbb R ~|~x \neq 2 ~und~ x \notin [-1; 1]\} } \end{eqnarray*}$ .

Zu b): Du darfst dort nicht schreiben "keine Nullstellen", sondern "kein Schnittpunkt mit der y-Achse". Hättest du im übrigen den Definitionsberech richtig gehabt, hättest du dir das sparen können, da ja 0 nicht im Def.-Bereich enthalten ist.

Zu c): Dein

Zitat:

Zählergrad größer als Nennergrad daaus folgt keine horizontale Asympote!
--> Polynomdivision

funktioniert hier nicht. Das klappt nur, wenn Zähler und Nenner ganzrational sind. Du wirst die Grenzwerte anders bestimmen müssen.

15.05.2008, 10:26

Torti

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Hey,

zu a) okay, das hab ich jetzt einigermaßen verstanden!

zu b) das meinte ich eigentlich auch, hab nur vor lauter an Nullstellen denken müssen auch geschrieben das die Nullstellen der Y-Achse meine.

zu c) aha, muss ich die Funktion dann gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$
laufen lassen ?

15.05.2008, 11:21

TheWitch

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a) Sehr schön.

c) Ja.

15.05.2008, 11:49

Torti

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hab grad garnet gesehn, das es auf der 2. Seite schon weitergeht!
Hab die Funktion mal gegen +- unendlich laufen lassen!
Stimmt das ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } \frac{\sqrt{x²-1}}{x-2} \Rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{\sqrt{x²-1}}{x-2} \Rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 12:17

kiste

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Warum sollte das so sein?

15.05.2008, 12:23

Torti

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Ich setze ja für x eine unendlich hohe Zahl ein. z.B 100

dann hab ich Wurzel(100²-1) -> das dann immer noch positiv
und unterem Bruch steht 100-2 -> das dann auch positiv

Oder muss ich da schauen okay das obere strebt ins unendlich und das unterm Bruchstrebt gegen das unendliche das heisst ich habe:
$\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$

und dann muss ich l'Hobital nehmen ? und ableiten ?

genauso, wenn ich gegen - unendlich streben lasse

15.05.2008, 12:25

Bjoern1982

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Zitat:

dann hab ich Wurzel(100²-1) -> das dann immer noch positiv
und unterem Bruch steht 100-2 -> das dann auch positiv

Das ist kein Indiz für das Streben nach Unendlich.

Die Kriterien um L'Hospital anzuwenden sind tasächlich erfüllt, aber man dreht sich hier eher im Kreis...

Am Einfachsten ist es hier wohl im Zähler und Nenner die höchste Potenz auszuklammern.

Edit:

Und beachte unbedingt $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ ---> Fallunterscheidung für positive und negative x-Werte führt zu unterschiedlichen Grenzwerten

Gruß Björn

15.05.2008, 12:52

Torti

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du meinst dann so:

$\begin{eqnarray*} \frac{x²(1-\frac{1}{x²})}{x(1- \frac{2}{x}}) \end{eqnarray*}$

Oder ? Aber wie mache ich dann weiter ?

15.05.2008, 12:56

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler noch ne Wurzel einfügen.

Und dann unbedingt mein Edit im letzten Beitrag beachten, denn für x gegen unendlich folgt etwas für $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 13:04

Torti

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okay also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x²(1-\frac{1}{x²}})} {x(1-\frac{2}{x})} \end{eqnarray*}$

Ach muss ich dann schauen f(x)=u(x) / v(x)

In meinem Beispielt gilt dann u > v oder ?

15.05.2008, 13:17

Bjoern1982

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Wenn du den Grenzwert für x gegen unendlich untersuchst, was wird dann aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ ?

Benutze auch noch dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a \cdot b}= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 13:23

Torti

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Im Betrag gibt es ja nur positive Werte dann!

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x²}*\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {x(1-\frac{2}{x})} \end{eqnarray*}$

das wird ja dann zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{x*\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {x(1-\frac{2}{x})} \end{eqnarray*}$

dann ist der Zähler 1. Grades also x^1
und der Nenner 1 Grades

15.05.2008, 13:31

Bjoern1982

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Formal schöner ist das hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x²}*\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {x(1-\frac{2}{x})}= \lim_{x \to \infty}\frac{|x|*\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {x(1-\frac{2}{x})} \end{eqnarray*}$

Da für x gegen unendlich nur positive x-Werte betrachtet werden wird aus |x|=x

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{x*\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {x(1-\frac{2}{x})}=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {1-\frac{2}{x}} \end{eqnarray*}$

So und jetzt eben Zähler und Nenner gegen unendlich laufen lassen und folgern was bei einem Bruchterm passiert, wo der Zähler konstant ist und der Nenner immer größer wird.

15.05.2008, 13:42

Torti

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Krass! Woran hast du gesehn, dass der Zähler konstant bleibt ?
Ich habe dafür extra Werte einsetzen müssen, das ich das gesehen habe!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}}{(1-\frac{2}{x})} \end{eqnarray*}$

Der Zähler ist ja konstant und poitiv
Der Nenner wird ja auch immer größer also muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}}{(1-\frac{2}{x})}\Rightarrow+\infty \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 13:49

Bjoern1982

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Nein, das stimmt so nicht.
Wenn du schon unbedingt große Zahlen einsetzen willst, dann aber nur für den Term, der ein x enthält.

Gegen was streben

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2008, 14:07

Torti

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Zitat:

[i]

Gegen was streben

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ ?

Habe ja das x durch die 100 ersestzt im Zähler und im Nenner genau wie bei den 2 Aufgaben hier, das mein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x²} \Rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{2}{x} \Rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 14:09

Bjoern1982

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Du willst mir doch nicht ernsthaft erzählen dass was negatives rauskommt wenn du 100 einsetzt oder verwirrt

verwirrt

15.05.2008, 14:25

Torti

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ahh ne habs verrafft weisste was ich gemacht habe:

hab für x =100 eingesetzt okay 1/100² = 1x10^-4 und hab da nur das Minus gesehn! Wobei der Wert ja positv ist!

Also muss es so rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x²} \Rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{2}{x} \Rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$

15.05.2008, 14:36

Bjoern1982

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Nochmal - die Tatsache, dass etwas Positives rauskommt wenn du eine hohe, positive zahl einsetzt hat sowas von NICHTS damit zu tun, ob der Term dann gegen unendlich strebt, das ist wirklich ein ganz großes Missverständnis und du musst das ganz schnell wieder vergessen.

Um wirklich zu verstehen gegen welchen Wert diese Bruchterme streben musst du dir entweder anhand deren Graphen anschauen, wie sich diese immer weiter rechts auf der x-Achse verhalten oder du ziehst eine Schlussfolgerung daraus, dass du dir vorstellst was passiert wenn der Nenner eines Bruchterms mit konstantem Zähler immer größer wird (also gegen unendlich strebt). Was passiert dann für den ganzen Bruch ?
Oder noch einfacher gefragt: Was passiert wenn du 1 Stück Kuchen an immer mehr werdende Menschen aufteilen musst ?

Björn

15.05.2008, 14:43

Torti

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Oder noch einfacher gefragt: Was passiert wenn du 1 Stück Kuchen an immer mehr werdende Menschen aufteilen musst ?

Björn

Dann bekommen die Menschen ein immer kleineres Stück
Desto mehr Leute desto weniger bekommt jeder einzelne

15.05.2008, 14:46

Bjoern1982

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So siehts aus...welchen Grenzwert könnten diese Bruchterme dann haben ?
Welche untere Schranke (Grenze) wird sicherlich nie unterschritten ?

15.05.2008, 15:02

Torti

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Der Bruch darf ja nicht Null werden also wird der Grenzwert 0 sein.
Welche Unter Grenze wird sicherlich nie unterschritten ? denkmal alle die kleiner als 0 sind ?

15.05.2008, 15:06

Bjoern1982

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Der Grenzwert ist null, das hätten wir also schonmal.
Wie habt ihr das eigentlich sonst im Unterricht gemacht ?
Denn ohne die Kenntnis von Nullfolgen kann man sich Aufgaben zu Grenzwerten eigentlich schon fast sparen.

Zitat:

Der Bruch darf ja nicht Null werden also wird der Grenzwert 0 sein.

Klar dürfen Brüche null werden.

15.05.2008, 15:16

Torti

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Buh, da fragste mich was! Ich weiss nimmer genau wie wir das damals gemacht haben.
Aber eine Nullfolge war doch sowas:

-2/(1-20x) -> Nullfolge

wenn ich jetzt aber z.B

(2+3x) / (3x-1) -> 3/3 = 1 keine Nullfolge

15.05.2008, 17:53

Bjoern1982

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Wartest du eigentlich auf irgendwas ?
Weil du immer mal wieder reinschaust und dann wieder weg bist...
Wenn noch Fragen da sind musst du sie schon stellen - ansonsten geht man eben davon aus dass alles klar ist.

Björn

15.05.2008, 21:11

Torti

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Sorry!
War grad mit meinem Vater im Acker.
Aber hab noch ne Frage zum ganzen schreibe ich das von meiner Aufgabe dann so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x²}}}{1-\frac{2}{x}} \Rightarrow 1 \end{eqnarray*}$

Gruß Torti

15.05.2008, 21:17

Bjoern1982

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Statt dem Pfeil reicht auch ein Gleichzeichen, denn der Grenzwert dieses Bruchterms für x gegen unendlich ist 1.

Normalerweise macht man noch einen Zwischenschritt, in dem man zeigt gegen was der Zähler strebt und gegen welchen Wert der Nenner strebt und zieht dann seinen Schluss.

Jetzt das ganze Spiel noch für x gegen minus unendlich, wobei zu beachten ist was für negative Werte für x aus |x| wird.

Gruß Björn

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