Hilfe bei Kurvendiskussion - Seite 2

15.05.2008, 21:51

Torti

Also dann so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x²}}}{1-\frac{2}{x}}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty }\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x²}}}{1-\frac{2}{x}}=1 \end{eqnarray*}$

und das mitm Zwischenschritt müsste ich ja eigentlich auch hinbekommen irgendwie ich versuchs mal! Da nehm ich ja nur nen Zähler einmal schaue gegen was er geht und einmal nur den Nenner für sich und schaue wohin dieser geht?

15.05.2008, 21:53

Bjoern1982

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Der 2. Grenzwert ist nicht 1 !

Deshalb habe ich ja auch so oft darauf hingewiesen was aus |x| für negative x-Werte wird. Beantworte erstmal diese Frage.

15.05.2008, 22:00

Torti

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der Zähler geht ja gegen 1 und der Nenner gegen - unendlich

15.05.2008, 22:02

Bjoern1982

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Das war nicht meine Frage.

15.05.2008, 22:20

Torti

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- unendlich geht gegen + endlich

halt: habs grad mal in den GTR eingegeben und da geht - unedndlich doch gegen 1

15.05.2008, 22:24

Bjoern1982

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Nein, nicht gegen 1, ich habe den Graphen auch schon geplottet und ich veralbere dich doch hier nicht.

Zitat:

Deshalb habe ich ja auch so oft darauf hingewiesen was aus |x| für negative x-Werte wird.

15.05.2008, 23:13

Torti

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genau den gleichen Graph hab ich auch raus! ABer wenn ich mir die Wertetabelle anschaue geht-unendlich bei z.B
-10 ->0,8291
-20 ->0,9079
-150 -> 0,9868

15.05.2008, 23:17

Bjoern1982

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Das ist deshlab so weil du die falsche Funktion betrachtest, wir müssen nochmal an diese Stelle zurück:

Zitat:

Formal schöner ist das hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x²}*\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {x(1-\frac{2}{x})}= \lim_{x \to \infty}\frac{|x|*\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {x(1-\frac{2}{x})} \end{eqnarray*}$

Da für x gegen unendlich nur positive x-Werte betrachtet werden wird aus |x|=x

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{x*\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {x(1-\frac{2}{x})}=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{(1-\frac{1}{x²})}} {1-\frac{2}{x}} \end{eqnarray*}$

Aus dem |x| wird hier wegen x gegen MINUS unendlich nicht x sondern -x , weil eben für negative Zahlen der Betrag so definiert ist =)
Damit bleibt dann also beim Kürzen -1 als Faktor übrig.
Verstanden ?

15.05.2008, 23:33

Torti

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achsooooooooo ja, das ist gut möglich! Hab immer die andere Funktion genommen! Aber das prinzip habe ich jetzt verstanden!
Vielen Dank erster mal!
Ich werd mich morgen mal an ne neue AUfgabe machen und versuchen ob ich die mal alleine hinbekomme!

Aber echt vielen Dank das du soviel Zeit in mich investestiert hast!
Schöner ABend noch! Vielleicht bis morgen! Aber mir wäre auch lieber, wenn ich es alleine hinbekomme!

Gruß Torti

15.05.2008, 23:35

Bjoern1982

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Dir auch nen schönen Abend und viel Erfolg weiterhin smile

Ich hoffe du bekommst auch als Grenzwert -1 raus.

Gruß Björn

16.05.2008, 11:49

Torti

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Hey,
ja, habe es nochmal nochmal angeschaut und habe wirklich als GRenzwert -1 raus! Habe jetzt halt die richtige normale Funktion genommen.
ABer habe leider schon wieder ein Problem, denn die Aufgabe hat noch 2 Nummer
d) Falls vorhanden berechnen sie die Extremwerte
e)Zeigen sie dass die 2. ABleitung von f(x) eine Nullstelle bei x=1 und x=2 hat

zu d)

Also habe ja meine Funktion!

Dann leite ich ab: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u}{v} \end{eqnarray*}$

mein u= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x²-1} \end{eqnarray*}$
mein u' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

mein v=x-2
mein v'=1

So jetzt habe ich in: $\begin{eqnarray*} \frac{u'*v - u*v'}{v²} \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1}{2*\sqrt{x²-1} }*(x-2)- \sqrt{x²-1}*1}{(x-2)²} \end{eqnarray*}$

anschließend habe ich alles auf einen Hauptnenner gebracht, also erweitert mit $\begin{eqnarray*} *\frac{2*\sqrt{x²-1}}{2*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

dann habe ich es ja so stehn:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{(x-2) - 2\sqrt{x²-1}*\sqrt{x²-1}}{2*\sqrt{x²-1} }}{(x-2)²} \end{eqnarray*}$

stimmt das bis dahin denn ? oder habe ich hier schon einen Fehler gemacht ?

anschließend habe ich dann die Wurzeln miteinander multipliziert und alles auf einen Bruch gebracht, aber ich finde es kommen da komische Ergebnisse raus!

Wäre echt cool, wenn sich das mal jemand anschauen könnte!

Gruß Torti

16.05.2008, 13:13

TheWitch

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u' ist falsch - da fehlt die innere Ableitung. (Den Rest habe ich dann nicht mehr angeschaut.)

16.05.2008, 13:32

Torti

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Okay dann aber so: $\begin{eqnarray*} u'=\frac{2x*1}{2*\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

Dann heisst das Gesammtparket:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1*2x}{2*\sqrt{x²-1} }*(x-2)- \sqrt{x²-1}*1}{(x-2)²} \end{eqnarray*}$

vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{\frac{2x*(x-2)-2\sqrt{x²-1}*\sqrt{x²-1} }{2*\sqrt{x²-1}}}{(x-2)²} \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis dahin ?

Ich muss mit meinem Vater leider wieder in den Acker, das Dach neu machen, das heisst ich kann mal 2h oder so nicht antworten. Also net denken ich hab keine Fragen mehr^^

Gruß Torti

16.05.2008, 14:16

TheWitch

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Das ist zwar richtig, aber es wäre geschickt gewesen, den Bruch im Zähler zunächst zu kürzen und dann erst zu erweitern. Dadurch wäre jeweils der Faktor zwei entfallen.

16.05.2008, 17:30

Torti

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Hi, bin wieder da!

Ich kann den Therm dann ja als einen Bruch schreiben indem ich den Nenner vom oberen BRuch in den Zähler vom unteren Bruch schreibe!

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x*(x-2)-2\sqrt{x²-1}*\sqrt{x²-1} }{2*(x-2)²*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

jetzt könnte ich ja die 2 rauskürzen, die hinteren 2 Wurzeln zusammenfassen zu einer.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x*(x-2)-\sqrt{x^4-2x²+1}}{(x-2)²*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt noch etwas kürzen ?

16.05.2008, 21:09

TheWitch

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Die 2 rauszukürzen, war ein sehr guter Gedanke - ebenso, wie den Doppelbruch zu beseitigen. :-)
Und jetzt würde ich an deiner Stelle nochmal darüber nachdenken, was wohl $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \cdot\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ sein könnte und damit nochmal den hinteren Teil des Zählers überprüfen.

17.05.2008, 11:47

Torti

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Hi,

ich mache das doch dann so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²-1}* \sqrt{x²-1} \Rightarrow \sqrt{a} *\sqrt{b} = \sqrt{a*b} \end{eqnarray*}$

in meinem Fall sieht das dann doch so aus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x²-1)*(x²-1)} \end{eqnarray*}$

und das habe ich ja ausmultipliziert

17.05.2008, 12:27

TheWitch

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Du hast unter der Wurzel zweimal das gleiche (a und a) stehen - und nicht a und b!

17.05.2008, 12:32

Q-fLaDeN

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Entschuldigung, dass ich mich kurz einmische, aber darf man bei dieser Gleichung (bzw. Term) von oben:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x*(x-2)-2\sqrt{x²-1}*\sqrt{x²-1} }{2*(x-2)²*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

die 2 denn überhaupt rauskürzen? Da steht zwischen den Produkten doch ein minus?

Außerdem wurde da doch im nächsten Schritt 2 Mal die 2 rausgekürzt oder sehe ich das falsch?

Wollte ich nur mal anmerken, ich weiss aber nicht obs richtig ist verwirrt

17.05.2008, 12:38

Bjoern1982

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Aber die 2 kommt als Faktor in beiden Summanden im Zähler vor, wodurch man sie ausklammern könnte und folglich kürzen kann.

Gruß Björn

17.05.2008, 12:44

Q-fLaDeN

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Ok, mein Fehler, tschuldigung smile

Naja dann antworte mal schön auf TheWitchs Frage.

17.05.2008, 12:45

Torti

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ja, stimmt, aber vom prinzip her müsste das doch stimmen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x²-1)²} \end{eqnarray*}$

@Q-fLaDeN

doch ich glaube schon das ich das rauskürzen darf, da ich ja die beiden Summen auf dem Zähler auch durch 2 teilen muss, wenn ich es im Nenner mache!
Das ganze sieht ja so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2*(x*(x-2))-2*(\sqrt{x²-1}*\sqrt{x²-1)} }{2*((x-2)²*\sqrt{x²-1)}} \end{eqnarray*}$

17.05.2008, 12:55

TheWitch

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Zitat:

Original von Torti
ja, stimmt, aber vom prinzip her müsste das doch stimmen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x²-1)²} \end{eqnarray*}$

Das stimmt ja auch. Und was ist die Wurzel aus a²?

17.05.2008, 12:56

Torti

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das ist dann x²-1

17.05.2008, 12:59

TheWitch

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Bingo!

17.05.2008, 13:01

Torti

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Also kommt dann als 1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x*(x-2)-(x²-1) }{(x-2)²*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

raus.

17.05.2008, 13:05

TheWitch

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Ja. Und da kannst du den Zähler noch weiter zusammenfassen.

17.05.2008, 13:08

Torti

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ahh stimmt! das ich das von alleine nie sehe!

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x+1 }{(x-2)²*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

17.05.2008, 13:14

TheWitch

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Das ist ok jetzt.

Mir fällt aber gerade auf, dass oben der Definitionsbereich einen kleinen Fehler hat. Der muss lauten $\begin{eqnarray*} D_f=\{x \in \mathbb R ~|~x\neq 2~und~x \notin ~]-1;~1[\} \end{eqnarray*}$ - die Intervallgrenzen hinten müssen offen sein, da - 1 und 1 sehr wohl eingesetzt werden dürfen.

17.05.2008, 13:43

Torti

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ahh cool! Habs gleich mal verbessert!

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-2x+1 }{(x-2)²*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

so jetzt will / brauch ich noch die 2te Ableitung!

u=-2x+1
u'=-2
v= $\begin{eqnarray*} (x-2)²*\sqrt{x²-1} \end{eqnarray*}$
v' = $\begin{eqnarray*} \frac{x²-2x}{ \sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

dann zusammensetzen:
hab gleich wieder gekürzt,auf einen Nenner gebracht:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2*(x-2)²*\sqrt{x²-1} + 2x^3-3x²-2x}{ (x²-4)²*(x²-1)*\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

stimmt das bis dahin ?

17.05.2008, 14:09

TheWitch

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Wenn ich das richtig sehe, ist dein v' leider falsch - Produkt- und Kettenregel!

Und, da ich gleich weg muss: Ich habe nicht umsonst nochmal nach dem Def.-Bereich geguckt gehabt. Wenn du die erste Ableitung 0 setzt (du solltest ja mögliche Extremstellen bestimmen), wirst du feststellen, dass die Nullstelle von f' nicht im Def.-Bereich enthalten ist.

Des weiteren: Bei der zweiten Ableitung genügt es, den Zähler zu bestimmen, du kannst dir im Zweifelsfall große Rechnerei ersparen. Da du nur nachweisen sollst, dass an bekannten Stellen f'' 0 wird und dies nur durch den Zähler passieren kann, kannst du die beiden Stellen dort einsetzen und sehen, ob 0 rauskommt. Faktorisieren des Zählers so weit wie möglich wäre dabei allerdings angeraten. Insbesondere die "x - 2" solltest du keinesfalls irgendwie ausmultiplizieren, die kannst du nämlich auf jeden Fall insgesamt ausklammern.

18.05.2008, 11:13

Torti

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Hab ich das richtig verstanden das ich nur den Zähler bei der 2.ten Ableitung ableiten soll, da sich der Nenner nicht verändert ?

f''(2) = 0
f''(1) = 0

Außerdem meinst du doch den Nenner faktorisieren oder ?
Oder meintest du bei der 1. Ableitung noch ?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x*(x-2)-(x²-1) }{(x-2)²*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

Gruß Torti

18.05.2008, 11:36

TheWitch

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Nein, das hast du falsch verstanden - du musst schon den regulären Zähler der zweiten Ableitung bestimmen. Aber du brauchst nicht noch das Nennerquadrat drunter zu schreiben und den gesamten Bruch umzuformen. Und du solltest dann eben diesen Zähler so weit wie möglich faktorisieren.

18.05.2008, 11:58

Torti

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Hab es mal gemacht:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{x*(\frac{1}{x}-2)}{(x-2)*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

Also Zähler abgeleitet, das Nennerquadrat weggelassen und dann noch den Zähler faktorisiert

18.05.2008, 12:27

TheWitch

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Nein, das hast du immer noch falsch verstanden. Du brauchst u'v - v'u der zweiten Ableitung komplett. Und beachte bitte, dass oben dein v' falsch war.

18.05.2008, 13:15

Torti

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Hab nochmal abgeleitte hoffe es stimmt jetzt:

also habe $\begin{eqnarray*} (x-2)² *\sqrt{x²-1} \end{eqnarray*}$ mit der Kettenregel+Produktregel abgeleitet zu:

v' = $\begin{eqnarray*} 2x-4*\sqrt{x²-1} + \frac{(x-2)²*2x}{2*\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

18.05.2008, 13:19

TheWitch

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Das ist richtig bis auf die Tatsache, dass vorne eine Klammer fehlt. Klammere dort zunaächst 2 und dann aus dem ganzen Ausdruck "x - 2" aus.

(Das meinte ich damit, dass du auf jeden Fall "x - 2" als Faktor überall stehen haben solltest.)

Und in dem Bruch hinten kannst du noch die 2 wegkürzen.

18.05.2008, 13:23

Torti

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stimmt:

$\begin{eqnarray*} 2(x-2)*\sqrt{x²-1} + \frac{2x*(x-2)²}{2*\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

so, jetzt kann ich die 2 rauskürzen und anschließend alles zusammensetzen:

18.05.2008, 13:25

TheWitch

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Vorher klammere bitte noch aus dem ganzen Ausdruck "x - 2" aus.

18.05.2008, 13:29

Torti

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es heisst ja dann so:

$\begin{eqnarray*} (x-2)*\sqrt{x²-1} + \frac{x*(x-2)²}{\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

dann erweitere ich mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x²-1} \end{eqnarray*}$

dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)*\sqrt{x²-1}*\sqrt{x²-1} + x*(x-2)²}{\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

dann die beiden Wurzeln zusammenfassen zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)*\sqrt{(x²-1)²}+ x*(x-2)²}{\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

und die Wurzel und das ² wegbekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)*(x²-1)+ x*(x-2)²}{\sqrt{x²-1} } \end{eqnarray*}$

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