Hilfe bei Kurvendiskussion - Seite 3

18.05.2008, 13:32

Torti

okay also ausgeklammert heisst es dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)*(\sqrt{(x²-1)²}+x*(x-2)) }{\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

Ich bin grad ein bissel verwirrt! Stimmt das so dann ?

18.05.2008, 13:46

TheWitch

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Jetzt mal gaaaaaaaaaaaaaanz langsam:

Der Weg in dem ersten deiner beiden letzten Posts ist auch ok, aaaaaaaaaaaaber:

Egal, wie rum du das jetzt anfängst (erst zusammenfassen, dann ausklammern - oder umgekehrt) - du hast falsch gekürzt. Die 2 in deinem ersten Summanden kürzt sich natürlich nicht weg, weil die ja nicht mit im Bruch steht.

18.05.2008, 13:56

Torti

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Okay, nochmal langsamer!

Also soweit waren wir:

$\begin{eqnarray*} 2(x-2)*\sqrt{x²-1} + \frac{2x*(x-2)²}{2*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kürze ich die 2 weg!

$\begin{eqnarray*} 2(x-2)*\sqrt{x²-1} + \frac{x*(x-2)²}{\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

so, jetzt mache ich einen gemeinsamen Hauptnenner:

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x-2)*\sqrt{(x²-1)²} + x*(x-2)²}{\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

und zu guter letzt noch die (x-2) ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)*(2*\sqrt{(x²-1)²} + x*(x-2))}{\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

18.05.2008, 14:00

TheWitch

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Sehr schön. Jetzt noch die Wurzel mit dem Quadrat aufheben - und nicht weiter ausmultiplizieren! Dann kanst du den Zähler der Ableitung zusammenbasteln.

18.05.2008, 14:13

Torti

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und der ganze aufwand nur für das:
v'= $\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)*(2*(x²-1) + x*(x-2))}{\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$
v = $\begin{eqnarray*} (x-2)²*\sqrt{x²-1} \end{eqnarray*}$
u=-2x+1
u'=-2

alles zusammengebastelelt gibt dann:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{-2*(x-2)²*\sqrt{x²-1} - -2x+1*\frac{(x-2)*(2*(x²-1) + x*(x-2))}{\sqrt{x²-1}}}{((x-2)²*\sqrt{x²-1})²} \end{eqnarray*}$

den Doppelbruch entfernt:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{\frac{-2*(x-2)²*\sqrt{(x²-1)²} +2x*\sqrt{x²-1}+1*(x-2)*(2*(x²-1) + x*(x-2))}{\sqrt{x²-1}}}{((x-2)²*\sqrt{x²-1})²} \end{eqnarray*}$

18.05.2008, 14:26

TheWitch

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Zitat:

Original von Torti
und der ganze aufwand nur für das: (...)

Ja, leider. (Und frag mich bitte jetzt nicht, was ich davon halte.)

Du hast beim Zusammenbauen die Klammer um (- 2x + 1) vergessen, dadurch wird dein Erweitern falsch. Die "- 2x + 1" steht sozusagen schon im Zähler des hinteren Bruchs mit der Wurzel im Nenner und muss nicht erweitert werden.

Den Gesamtnenner brauchst du beim Schreiben jetzt nicht weiter mitzuschleppen, schreib einfach "v²" oder "N" dafür.

18.05.2008, 14:35

Torti

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stimmt ja! OKay, habe es:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{\frac{-2*(x-2)²*\sqrt{(x²-1)²}- (-2x+1)*(x-2)*(2*(x²-1) + x*(x-2))}{\sqrt{x²-1}}}{v²} \end{eqnarray*}$

dann wird alles zu:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{-2*(x-2)²*\sqrt{(x²-1)²}- (-2x+1)*(x-2)*(2*(x²-1) + x*(x-2)){}}{v²*\sqrt{x²-1}} \end{eqnarray*}$

und jetzt könnte ich ja grad:

f''(2) = 0
f''(1) = 0

habs mal eingesetzt ergibt Null für 2 bzw. 1

18.05.2008, 14:43

TheWitch

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Geeeeeeeeeeeenau ...

Das Quadrat mit der Wurzel vorne noch auflösen. x = 2 siehst du sofort, weil überall "x - 2" als Faktor drinsteht. x = 1 scheint bei mir allerdings nicht zu klappen. Ich rechne das nochmal ganz von vorne durch und gucke, ob noch irgendwo ein Fehler ist. Melde mich in einer guten halben Stunde.

18.05.2008, 14:49

Torti

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Wenn ich das Wurzel-Quadrat lasse, dann kommt da auch 0 raus, denn:

1²-1 =0

und im Nenner ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{1²-1}=0 \end{eqnarray*}$ *v² =0

18.05.2008, 15:38

TheWitch

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Den Nenner darfst du überhaupt nicht betrachten, das ist erstens von der Aufgabenstellung her ausgeschlossen (aus gutem Grunde, siehe mein "zum zweiten) - und zum zweiten ist der bei 1 nicht definiert. (Die Wurzel vorne ergibt auch 0, wenn du sie auflöst, das hat damit nichts zu tun. Das Problem ist, dass der hintere Teil des Bruches nicht 0 wird.)

Du kannst die Zählernullstelle aber erzwingen, wenn du den ganzen Bruch jetzt wieder mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} \end{eqnarray*}$ erweiterst (einfach vor den ganzen Zähler schreiben, Nenner ändern zu "x² - 1" fertig.

Aber: Das ganze ist dermaßen fragwürdig von Anfang an (man kann nämlich im Zweifelsfall umformen, bis man rauskriegt, was man will), dass mich mal die "offizielle" Lösung interessieren würde.

18.05.2008, 17:00

Torti

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Ja, die würde mich auch mal interessieren! Aber kann mal rumfragen vielleicht hat einer die Lösung! Ich poste sie dann mal hier!

Aber vielen Dank erster mal für deine Hilfe! Ich werde das jetzt mal alles schön abschreiben und mir nochmal anschauen!

Wünsch dir noch nen schönen Sonntag Augenzwinkern

Gruß Torti

18.05.2008, 17:15

TheWitch

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Danke, das wünsche ich dir auch.

Das x = 2 Lösung des Zählers der (ungekürzten) zweiten Ableitung ist, das ist übrigens ganz normal. Allgemein gesagt: Die Nennernullstelle der Funktion selber ist immer auch Nullstelle des (ungekürzten) Zählers der zweiten Ableitung. Das ist der Grund, warum man den entsprechenden Term nie ausmultiplizieren, sondern stehen lassen sollte. Den kann man nachher immer ausklammern. (Und dann im Regelfall damit kürzen.)

23.05.2008, 10:24

Torti

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Hi,
habe mal meine Lehrerin nach den Lösungen gefragt und sie hat se mir mal gegeben.
Hab die Aufgabe mal als Anhang beigefügt!

Gruß Torti

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23.05.2008, 12:40

TheWitch

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Dieser Schluss unten auf dem zweiten Blatt ist mehr als atemberaubend. f'' ist nämlich weder für x = 1 noch für -1 < x < 1 definiert, d. h. man kann nicht auf einen Vorzeichenwechsel bei x = 1 (und daraus auf die Existenz einer Nullstelle) schließen. f'' hat nämlich für - 1 < x < 1 schlicht und einfach gar kein Vorzeichen und für x = 0 ist der Nenner 0 und nicht, wie behauptet, negativ.

(Der Schluss für x = 2 ist ok, aber das konnte man - wie bereits oben gesagt - auch anders herausfinden.)

23.05.2008, 13:29

Torti

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Ja, fand es auch etwas seltsam! Hab die Lösung halt so bekommen!

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