Reguläre Matrizen

14.05.2008, 15:58

aRo

Reguläre Matrizen

Hi!

Es geht um folgende Aufgaben:
a) Bestimmen Sie alle Elemente von $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb Z_2) \end{eqnarray*}$ .

b) Sei K ein Körper. Sei $\begin{eqnarray*} D=(d_{ij}) \in K^{n \times n} \end{eqnarray*}$ eine obere Dreiecksmatrix, d.h. $\begin{eqnarray*} d_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1 \leq j < i \leq n \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:
D ist genau dann regulär, wenn $\begin{eqnarray*} d_{ii} \neq 0 \forall 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ .

Zu a)
Ich habe gefolgert, dass aus $\begin{eqnarray*} u,v \in \mathbb Z_2^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \cdot v=E_2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass u und v aus GL2(Z2) sind.
Ich habe dann definiert: $\begin{eqnarray*} u := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v := \begin{pmatrix} w& x \\ y & z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , diese Matrizen multipliziert und eine Koeffizientenmatrix aufgestellt. Durch eine Vielzahl von Fallunterscheidungen habe ich dann folgendes Ergebnis erhalten:

$\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb Z_2) = \{ E_2,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Das war aber ganz schön aufwendig. Meine Frage nun: Wie geht das am geschicktesten?

zu b)
In der Vorlesung gab es den Satz, dass gilt: D quadratisch und $\begin{eqnarray*} Dx=0 \end{eqnarray*}$ nur trivial losbär $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ D regulär.

Dass D quadratisch ist, brauche ich nicht zu zeigen, dass ist so. Dass $\begin{eqnarray*} Dx=0 \end{eqnarray*}$ immer nur trivial lösbar ist, wie zeige ich das am besten? Ich mein, das ist wohl so wie man sich leicht am Rückwärtseinsetzen vom Gauß-Alg. klar machen kann, aber wie beweise ich das?

Dankeschön.

14.05.2008, 16:04

kiste

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a) Eine Matrix ist regulär wenn die Spalten linear unabhängig sind. Also einfach alle Spaltenvektoren die l.u. sind in die Matrix schreiben und schon bist du fertig. Bei Z_2 sind das ja nicht viele

b) Einzeiler mit Hilfe der Determinante

14.05.2008, 16:19

aRo

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hallo Kiste!

a) Hmm...meinst du wirklich Spalten? Ich hätte jetzt eher an Zeilen gedacht. Hmm..bin mir da nicht so sicher, ob wir das so benutzen dürfen, aber wahrscheinlich schon..

b) Determinanten haben wir noch nicht behandelt und dürfen daher nicht verwendet werden unglücklich

14.05.2008, 16:28

kiste

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zu a) Zeilen, Spalten ist doch völlig egal den der Rang einer Matrix ist gleich dem Rang seiner transponierten Augenzwinkern

.

zu b) Das ist schade Augenzwinkern

.
Anschaulich sollte es bereits klar sein das sie dann nicht regulär ist, den ist in der i-ten Zeile in der Hauptdiagonalen eine 0 so gibt es i Zeilen mit nur i-1 Einträgen. Also (sieht man das ganze als Untervektorraum) sind diese linear abhängig.
Das musst du nun halt noch formal beweisen. Das geht z.B. mit dem Gauß-Algorithmus wie du es bereits vorgeschlagen hast(vllt. in Verbindung mit Induktion oder so Augenzwinkern

14.05.2008, 17:47

WebFritzi

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Wenn in der i-ten Spalte auf der Diagonalen eine Null steht, ist es klar, dass dann die ersten i Spalten linear abhängig sind.

14.05.2008, 19:50

aRo

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okay, die a) habe ich jetzt nochmal einfacher gemacht.

bei der b) habe ich mir gerade folgendes überlegt:

Satz aus der Vorlesung:
Jede Zeilenstufenform von A hat n Stufen <=> A ist regulär (vorausgesetzt A ist quadratisch).

Wir wollen zeigen:
$\begin{eqnarray*} D \mbox{ ist regulär} \Leftrightarrow d_{ii} \neq 0 \forall 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$

"=>":
D ist regulär, d.h. nach Vorlesung existiert kein dii=0, denn sonst gäbe es eine Zeilenstufenform von D mit weniger als n Stufen.

"<=":
Die Diagonale von D enthält keine Nullen. Daraus folgt, dass D genau n Stufen hat und damit regulär sein muss.

So ganz schmeckt mir der Beweis selbst nicht, irgendwie ist er mir zu unformal, aber im Prinzip dürfte das doch reichen, oder?

14.05.2008, 21:48

WebFritzi

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Ja. Nur eines noch:

Zitat:

Original von aRo
"=>":
D ist regulär, d.h. nach Vorlesung existiert kein dii=0, denn sonst gäbe es eine Zeilenstufenform von D mit weniger als n Stufen.

Die Zeilenstufenform ist eindeutig. Daher: "D ist regulär, d.h. nach Vorlesung existiert kein dii=0, denn hätte die Zeilenstufenform von D weniger als n Stufen."

14.05.2008, 22:13

aRo

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das mit der eindeutigen Zeilenstufenform hat mich schonmal irritiert.

Was genau meint man damit? Gibt es denn 2 Zeilenstufenformen zu einem LGS die sich grundlegend unterscheiden oder meint man damit nur, dass eine Zeile mit einem anderen Faktor multipliziert worden sein kann?

14.05.2008, 22:18

WebFritzi

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Hm? Die Zeilenstufenform einer Matrix entsteht nach Anwendung des Gauß-Algorithmus. Es gibt also nur eine.

14.05.2008, 22:27

aRo

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erscheint mir sehr logisch. Merkwürdig, dass unser Professor immer zu betonen scheint, dass z.B. "JEDE Zeilenstufenform von A n Stufen hat".
Vielleicht meint er wirklich eine Multiplikation von Zeilen mit einer Zahl.

15.05.2008, 01:08

WebFritzi

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OK, stimmt nicht so ganz, was ich geschrieben hab. Es kann ja z.B. vorkommen, dass in der ganz oberen linken Ecke eine Null steht. Dann ist im Gauß-Algo nicht vorgegeben, welche Zeile man mit der ersten vertauscht. Also gut, es kann durchaus mehrere Zeilenstufenformen geben. Augenzwinkern

15.05.2008, 17:58

Mathespezialschüler

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Falls mit Zeilenstufenform hier die "erweiterte" Zeilenstufenform gemeint ist, bei der die Pivot-Elemente Einsen sind und über ihnen nur Nullen stehen, so gibt es tatsächlich eine eindeutig bestimmte Zeilenstufenform.
Sollten die Pivot-Elemente allerdings nicht notwendigerweise Einsen sein (vielleicht hat dein Prof das ja so definiert), dann gibt es natürlich sehr viele Zeilenstufenformen.

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