Beweis zur Chi-Quadrat-Verteilung

14.05.2008, 15:59	Gast1403	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur Chi-Quadrat-Verteilung Hallo, ich versuche gerade zu verstehen, dass die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 \end{eqnarray}$ für i.i.d. $\begin{eqnarray} X_i \sim N(0,1) \qquad \chi^2_{n-1}- \end{eqnarray}$ verteilt ist. Ich hab bisher folgendes gefunden: 1. ist Korollar aus Satz von Cochran... 2. einen Beweis, der mit der momenterzeugenden Funktion arbeitet: kurz und verständlich, aber er benötigt, dass die mgf die Verteilung eindeutig beschreibt und damit letztlich Laplacetransformationen, die Kenntnis der mgf von Chiquadrat etc. Fragen: Gibt es oder kennt jemand einen Beweis, der mit elementareren Mitteln auskommt? Ich möchte das ganze - wenn kurz und eingängig - Studenten beibringen (keine Mathematiker). Kennt jemand einen Link zum Beweis des S. v. Cochran? (Links reichen natürlich) Lg Mario
15.05.2008, 10:02	Gast1403	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zur Chi-Quadrat-Verteilung Hallo nochmal, bin zu Frage 2 nach langem Suchen selbst fündig geworden: für Interessierte: http://mcs.une.edu.au/~stat354/notes/node37.html Wenn man die Beweise zurückverfolgt, sieht man dass o.a. 2. Variante die an den Spezialfall angepasste Cochran-Variante ist. Also bleibt nur noch die erste Frage übrig (ich vermute aber fast, dass es nicht elementarer geht :-() Lg Mario
15.05.2008, 10:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei diesen Varianzstrukturen läuft's immer darauf hinaus: Der Vektor $\begin{eqnarray} (X_1-\bar{X},X_2-\bar{X},\ldots,X_n-\bar{X}) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensional normalverteilt, wegen der Abhängigkeiten infolge des $\begin{eqnarray} -\bar{X} \end{eqnarray}$ aber mit "nichtdiagonaler" Kovarianzmatrix. Durch eine geeignete lineare Transformation bringt man das auf Diagonalstruktur und nutzt dann, dass $\begin{eqnarray} Y_1^2+\ldots+Y_{n-1}^2 \end{eqnarray}$ eine Chi-Quadratverteilung mit $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Freiheitsgraden besitzt, sofern die einzelnen $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ unabhängig (!) standardnormalverteilt sind. Diese Diagonalisierung bewirkt dann übrigens den "Verlust" des einen Freiheitsgrades von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ . So kenne ich das, und so ähnlich geht man wohl auf im verlinkten Beweis vor. Ich denke nicht, dass man das substanziell einfacher machen kann, irgendwie muss man wohl durch diese Diagonalisierung "durch".

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