Zerfällungskörper

14.05.2008, 16:30	Sara	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper Hallo, ich habe eine Frage zu Zerfällungskörpern: Wenn man z.B. ein Polynom $\begin{eqnarray} x^4+x+1 \in \mathbb{F}_3[x] \end{eqnarray}$ hat und den Zerfällungskörper von diesen Polynom bestimmen soll, dann ermittelt man doch die Nullstellen des Polynoms (d.h. hier gibt es 4 Stück) und der Zerfällungskörper ist dann der Grundkörper adjungiert den Nullstellen, oder? Hier wäre etwa 1 eine Nullstelle des Polynoms, die schon im Grundkörper liegt. Dann besitzt das Polynom noch 3 weitere Nullstellen $\begin{eqnarray} n_1,n_2,n_3 \end{eqnarray}$ und der Zerfällungskörper wäre dann $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_3(n_1,n_2,n_3) \end{eqnarray}$ . Ist das soweit richtig? Und wie gibt man den Zerfällungskörper dann an?
14.05.2008, 18:08	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja. Üblicherweise kann man aber die Nullstellen explizit angeben, sonst macht die Aufgabe auch wenig Sinn (z.B. mit Hilfe komplexer Zahlen, Wurzeln etc.).
15.05.2008, 08:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sara, das stimmt, was du sagst. Es könnte allerdings sein, daß schon nach der ersten Adjunktion das Polynom zerfällt, so daß die restlichen Adjunktionen nichts Neues mehr bringen. Als Zerfällungskörper kannst du irgendeinen Körper minimalen Grades über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 = \{ -1,0,1 \} \end{eqnarray}$ nehmen, in dem das Polynom zerfällt. Alle solchen Zerfällungskörper sind isomorph. Es besteht über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ die Zerlegung $\begin{eqnarray} x^4 + x + 1 = (x-1) \, p(x) \ \ \text{mit} \ \ p(x) = x^3 + x^2 + x -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ ist irreduzibel über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ . Die Standardkonstruktion für die Adjunktion einer Nullstelle ist ja $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3[t] \, / \, \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3[t] \end{eqnarray}$ der Polynomring in einer Unbestimmten $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ das von $\begin{eqnarray} p(t) \end{eqnarray}$ erzeugte maximale Ideal. Der Restklassenring ist ein Körper. Man bettet $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ in diesen Körper ein, indem man $\begin{eqnarray} u \in \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u + \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ identifiziert. Dann ist $\begin{eqnarray} \vartheta = t + \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ . Fürs praktische Rechnen geht man besser so vor: Man betrachtet mit einem Symbol $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ die 27 Ausdrücke $\begin{eqnarray} a + b \vartheta + c \vartheta^2 \ \ \text{mit} \ \ a,b,c \in \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ mit denen man naiv unter Verwendung der Relation $\begin{eqnarray} \vartheta^3 + \vartheta^2 + \vartheta - 1 = 0 \end{eqnarray}$ rechnet (siehe Beispiel am Ende). So erhält man auch ein Modell des Körpers $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3(\vartheta) \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} x_1 = \vartheta \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ ist. Man stellt fest, daß dann auch die Elemente $\begin{eqnarray} x_2 = 1 + \vartheta^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3 = 1 - \vartheta - \vartheta^2 \end{eqnarray}$ Nullstellen von $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ ist. Also ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3(\vartheta) \end{eqnarray}$ schon der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ . Beispiele: $\begin{eqnarray} x_1 + x_2 + x_3 = \vartheta + 1 + \vartheta^2 + 1 - \vartheta - \vartheta^2 = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \vartheta \cdot \left( 1 + \vartheta^2 \right) \cdot \left( 1 - \vartheta - \vartheta^2 \right) = \vartheta \cdot \left( 1 - \vartheta - \vartheta^3 - \vartheta^4 \right) = \vartheta - \vartheta^2 - \vartheta^4 - \vartheta^5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left( \vartheta^3 + \vartheta^2 + \vartheta - 1 \right) \cdot \left( - \vartheta^2 + 1 \right) + 1 = 1 \end{eqnarray}$ Und wenn du jetzt noch $\begin{eqnarray} x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 \end{eqnarray}$ berechnest, hast du sofort den linearen Koeffizienten in $\begin{eqnarray} \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \left( x - x_3 \right) \end{eqnarray}$ . Und da sollte sich dann auch $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ ergeben.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »