p x d = 70

14.05.2008, 17:02

J3ns88

p x d = 70

Hallo ich habe eine Frage ich soll die Regel Verdoppelungszeit(p) x Zinssatz(p) = 70 für kleine Zinssätze bis zu 12% beweisen. Kann mir jemand helfen mein Problem zu lösen. Freude

14.05.2008, 17:22

tigerbine

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RE: p x d = 70
Was versteht man denn unter der Verdopplungszeit?

Das (p) steht für Prozent?

14.05.2008, 17:24

J3ns88

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"p" steht für den Zinssatz in Prozent und die Verdoppelungszeit ist die Zeit, in der sich Geld z.B auf einem Konto verdoppelt hat.

14.05.2008, 17:28

tigerbine

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Ok, wir rechnen mit Zinzeszins? Jährlicher Verzinsung? D.h. dann z.B. für ein Guthaben von 1000€ zum Zinssatz von 5% haben wir nach t-Jahren

$\begin{eqnarray*} K(t)=1.000 \cdot (1+0.05)^t \end{eqnarray*}$

Euro auf dem Konto? Augenzwinkern

14.05.2008, 17:35

J3ns88

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Genau, so habe ich auch angefangen ... habe die allgemeine Formel für den Zineszins genommen.
Also Kn = Ko (1+ p/100)hoch "n"

und habe dann diese Formel umgestellt um weiter zu rechnen.
Da wir für die Verdoppelungszeit 2 Ko brauchen so
Ko x (1+ p/100) hoch"n" = 2Ko

und wenn man die weiter umnstellt fällt "Ko" weg

sieht dann so aus ...
2 = (1+ p/100) hoch"n"

14.05.2008, 17:44

tigerbine

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Ok, dann sind wir uns über das Modell einig. Augenzwinkern

Allgemein also

$\begin{eqnarray*} K(t)=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^t \end{eqnarray*}$

Nun für die Verdopplungszeit:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot K_0=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^{t_D} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=(1+\frac{p}{100})^{t_D} \end{eqnarray*}$

Das Lösen wir dann durch Logarithmieren:

$\begin{eqnarray*} \ln(2)=t_D \cdot \ln(1+\frac{p}{100}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_D =\frac{\ln(2)}{\ln(1+\frac{p}{100})} \end{eqnarray*}$

Soweit klar?

14.05.2008, 17:47

J3ns88

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Mhh ja ... eigentlich schon ... bis auf die Frage, was der Grund dafür ist zu "logarithmieren", dass erschließt sich mir noch nicht ganz irgendwie muss ich sagen. verwirrt

14.05.2008, 17:57

tigerbine

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Wir brauchen doch die Verdopplungszeit. Idee!

14.05.2008, 18:02

J3ns88

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Tut mir leid, ich bin kein Mathe-Genie ... ich weiß nicht in welchem Zusammenhang die Verdoppelungszeit mit logarithmieren steht.
Wäre aber sehr hilfreich, wenn du mir es erklären könntest.

14.05.2008, 18:06

tigerbine

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Also das habe ich Dir doch schon vorgerechnet. Bei dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} 2\cdot K_0=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^{t_D} \end{eqnarray*}$

Haben wir doch die Verdopplungszeit $\begin{eqnarray*} t_D \end{eqnarray*}$ gesucht. Das ergibt eben aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} t_D =\frac{\ln(2)}{\ln(1+\frac{p}{100})} \end{eqnarray*}$

Edit:

Nun gilt es doch zu prüfen, ob gilt:

$\begin{eqnarray*} t_D\cdot p= 70 \end{eqnarray*}$

Ich habe das mal mit Excel gemacht... Nunja, das kann aber nur eine grobe Näherungsformel sein. Augenzwinkern

14.05.2008, 19:28

J3ns88

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habe es auch weiter gerechnet und komme dazu, dass ich sage dass die "Faustformel" nur für kleine Zinssätze bis 10% gilt.

14.05.2008, 19:34

tigerbine

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Was ich mich nun noch frage, was ihr unter "beweisen" versteht. Wir können sicherlich eine Tabelle machen, aber ein Beweis ist das nicht.

14.05.2008, 20:31

J3ns88

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So habe ich es jetzt verstanden.
Habe es jetzt graphisch mit einem Funktionsplotter und mit einer Tabelle dargestellt, dass es eine Faustregel ist.

14.05.2008, 20:43

tigerbine

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14.05.2008, 20:49

J3ns88

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Dann bedanke ich mich bei dir Freude

für die schnelle Hilfe.

15.05.2008, 12:22

J3ns88

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Tut mir leid, wenn ich schon wieder ankomme aber mein Lehrer meinte ich muss die Stelle mit dem logarithmieren noch besser erklären können, da es wichtig ist und ich nicht erklären konnte, warum ich den anwende.

Ich stehe also an dieser Stelle
(1+ p/100)^n = 2

Weiter machen soll ich mit dieser Formel: a^x = e^ln(a)x

Diese Formel verstehe ich allerdings nicht und kann ich irgendwie auch nicht erklären.
Wäre schön wenn mir jemand helfe könnte

15.05.2008, 13:21

klarsoweit

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Zunächst einmal ist $\begin{eqnarray*} e^{x \cdot ln(a)} = \left( e^{ln(a)} \right)^x = a^x \end{eqnarray*}$

Wenn du in $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{p}{100})^n = 2 \end{eqnarray*}$ nach n umstellen willst, wendest du erst einmal auf beiden Seiten den ln an.

15.05.2008, 14:17

bishop

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ich glaube da muss man noch weiter vorne Anfangen.
Das Logarithmieren ist eine Äquivalenzrelation, das bedeutet, dass wenn du eine Gleichung hast, und auf beiden Seiten den Logarithmus anwendest, dann stimmt die Gleichung immer noch.

Man logarithmiert immer dann wenn man eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} a=b^x \end{eqnarray*}$ vor sich hat und nach x auflösen möchte. Dir fällt sicher auf, dass das nicht geht mit den herkömmlichen Methoden. Eine Logarithmusregel besagt aber, dass $\begin{eqnarray*} log(a^x)=x*log(a) \end{eqnarray*}$ Bei der simplen Gleichung von vorher macht man also
$\begin{eqnarray*} a=b^x ~|~ log()\\ log(a)=log(b^x) \\log(a)=x*log(b)\\x=\frac{log(a)}{log(b)} \end{eqnarray*}$

Kannst du mit diesem Wissen dein Problem bearbeiten?

15.05.2008, 14:33

J3ns88

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Ahh ich glaube du hast mir damit sehr geholfen gerade ....
Ich wende also den Logarithmus an weil ich die Gleichung mit der Form a = b^x habe.
Ich wende ihn auf beiden Seiten an und stelle die Gleichung so lange um bis ich auf der einen Seite nur noch "x" stehen habe.
Dies ist in meiner Rechnung "n" für die Verdoppelungszeit.

Es tut mir leid, wenn ich jetzt schon wieder so eine blöde Frage stelle, aber mein Lehrer hat mir was von "ln" auf mein Blatt gemalt und nicht von "log".
Ich weiß, dass die beiden Sachen irgendwie miteinander zusammenhängen und habe auch schon ein bisschen im Internet geschnuppert, aber welches von beiden ich jetzt für meine Aufgabe nehmen muss habe ich nicht verstanden

15.05.2008, 14:47

klarsoweit

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ln ist ein spezieller Logarithmus, nämlich der Logarithmus zur Basis e. Der wird recht gerne genommen, da der auch auf dem Taschenrechner ist. Augenzwinkern

15.05.2008, 15:13

J3ns88

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Okay

Ich habe dann wie folgt weitergerechnet um "n" auf eine Seite zu bringen.

Also meine Ausgangsgleichung war diese: (1+ p/100)^n = 2
Habe dann den Logarithmus angewand:

e^ln(1+p/100)xn = 2 l ln
ln (1+ p/100) x n = ln(2) l ln (1+ p/100)

n = ln(2) / ln(1+p/100)

Wie geht es dann weiter? verwirrt

15.05.2008, 18:34

klarsoweit

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Wenn du p kennst, kannst du n ausrechnen. Augenzwinkern

16.05.2008, 13:58

J3ns88

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Nein, ich weiß "n" nicht "p".

Habe in die Faustformel p x n = 70 jetzt einfach mal die Gleichung eingesetzt, sie ich für "n" raushabe.

Sieht dann so Aus:

p x ln(2)/ ln(1+ p/100) = 70

Hilft mir das jetzt weiter, dass ich einfach sagen kann, "Dadurch, dass wir jetzt nur noch eine unbekannte haben ("p") kann ich einfach zur Überprüfung Werte für "p" einsetzen."

Oder wie soll ich es erklären ?

16.05.2008, 14:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von J3ns88
Nein, ich weiß "n" nicht "p".

Scherzkeks. unglücklich

Wenn du n hast und p suchst, dann nimm in $\begin{eqnarray*} (1+ p/100)^n = 2 \end{eqnarray*}$ die n-te Wurzel und löse nach p auf.

16.05.2008, 15:01

TheWitch

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Es sind weder p noch n bekannt.

Zitat:

Original von J3ns88
Habe in die Faustformel p x n = 70 jetzt einfach mal die Gleichung eingesetzt, sie ich für "n" raushabe.

Sieht dann so Aus:

p x ln(2)/ ln(1+ p/100) = 70

Hilft mir das jetzt weiter, dass ich einfach sagen kann, "Dadurch, dass wir jetzt nur noch eine unbekannte haben ("p") kann ich einfach zur Überprüfung Werte für "p" einsetzen."

Das ist eine gute Idee. Ich würde allerdings jetzt für die weitere Rechnung umsortieren (egal, ob die jetzt mit Excel oder sonstwie erfolgt). Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{p}{ln(1 + \frac{p}{100})} \approx \frac{70}{ln 2} \end{eqnarray*}$

Und zur Tabelle mit den verschiedenen Zinssätzen selber: Nicht zu wenige nehmen und auf jeden Fall auch welche über 12% hinaus, damit klar wird, dass die Näherung in dem Bereich sinnlos wird.

16.05.2008, 15:26

J3ns88

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Zitat:

Und zur Tabelle mit den verschiedenen Zinssätzen selber: Nicht zu wenige nehmen und auf jeden Fall auch welche über 12% hinaus, damit klar wird, dass die Näherung in dem Bereich sinnlos wird.

Habe ich jetzt auch versucht darzustellen.
Habe jetzt die Tabelle bis zum Zinssatz 30% dargestellt.
Als Präzisision der Regel habe ich außerdem angegeben, dass die Regel p x d = 70
exakt für den Zinssatz 2% gilt.

Als Einschränkung der Regel kann man vielleicht noch aufführen, dass man die Inflation beachten muss.
Denn wenn man z.B ein gewisses Kapital mit 2% anlegt, dauert es 35 Jahre bis es sich verdoppelt hat. Aber mein verdoppeltes Kapital ist in 35 Jahren nicht doppelt so viel Wert.

Ein kleine Frage hätte ich zum Schluss noch.
Im Internet bei weiteren Recherchen bin ich auf folgenden Satz gestoßen, der nicht weiter erklärt wurde, aber vielleicht ganz interessant ist für mein Thema.

"Die Faustregel p x d = 70 macht nur für kleine Zinssätze Sinn, da sonst Abweichungen vom Logarithmus zu groß werden".
Dass die Formel nur für kleine "p" Sinn macht, habe ich durch die Tabellarische Darstellung ja auch schon dargestellt, aber ich welcher Beziehung das zu dem Logarithmus steht kann ich nicht erklären.
Gibt es dort eine plausible Erklärung, die auch ich, als einer, der Mathe nur schwer versteht, begreife ? verwirrt

Danke für die schnelle Hilfe auf jeden Fall schonmal vorweg. Freude

16.05.2008, 15:50

TheWitch

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Zitat:

Original von J3ns88[quote]
Als Präzisision der Regel habe ich außerdem angegeben, dass die Regel p x d = 70 exakt für den Zinssatz 2% gilt.

Wie kommst du darauf? Das stimmt nämlich nicht; es mag nur den Anschein haben, weil du eventuell mit zu geringer Stellenzahl gerechnet hast.

Zitat:

Als Einschränkung der Regel kann man vielleicht noch aufführen, dass man die Inflation beachten muss.
Denn wenn man z.B ein gewisses Kapital mit 2% anlegt, dauert es 35 Jahre bis es sich verdoppelt hat. Aber mein verdoppeltes Kapital ist in 35 Jahren nicht doppelt so viel Wert.

Das hat nichts mit der Regel zu tun, die gilt immer - also ist das keine Einschränkung der Regel. Das hat nur etwas mit wirtschaftlichen Erwartungen zu tun.

Zitat:

"Die Faustregel p x d = 70 macht nur für kleine Zinssätze Sinn, da sonst Abweichungen vom Logarithmus zu groß werden".

Den Satz vergiss mal schnell wieder, der müsste nämlich heißen ungefähr "da sonst die Abweichungen der mithilfe dieser Regel berechneten Verdoppelungszeit von der logarithmisch berechneten Verdoppelungszeit zu groß werden".

Wenn du magst, kannst du diese Abweichung auch noch darstellen, indem due für verschiedene Zinssätze auf beide Arten die Verdoppelungszeiten berechnest und gegenüberstellst.

16.05.2008, 16:01

J3ns88

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[quote]Original von TheWitchWie kommst du darauf? Das stimmt nämlich nicht; es mag nur den Anschein haben, weil du eventuell mit zu geringer Stellenzahl gerechnet hast.[quote]Original von TheWitch

Ja "exakt stimmt es nicht, aber für den Zinssatz 2,0% kommt man bei der Regel
p x d=70 auf 70,0055.
Finde das schon relativ exakt.

[quote]Original von TheWitch
Das hat nichts mit der Regel zu tun, die gilt immer - also ist das keine Einschränkung der Regel. Das hat nur etwas mit wirtschaftlichen Erwartungen zu tun.
[quote]Original von TheWitch
Mhh ja war etwas schlecht von mir ausgedrückt. Meinte auch die wirtschaftliche Erwartung, so wie du es darstellst.

Sooooo ich glaube habe meine Fragen dann geklärt.
Danke für die Hilfe.

16.05.2008, 16:03

J3ns88

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Argh ... ich meinte natürlich: Für den Zinssatz 2,0% kommt man bei der Regel:

p x ln(2)/ ln(1+ p/100) = 70

auf 70,0055.

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