Ganzrationale Funktionen ?

14.05.2008, 17:30

PipiLangstrumpf

Ganzrationale Funktionen ?

Hallo

ich hoffe ihr könnt mir mal ein bisschen helfen. Ich bin eigentlich sehr gut in Mathe, jedoch verstehe ich Dinge erst seeeehr laaangsam *zwinker* Also habt ein wenig Gedult mit mir Augenzwinkern

Wir haben heute ein neues Thema angefangen und ich verstehe das noch nciht so ganz.
Wir haben folgende Aufgaben besprochen:

Begründen Sie, dass es für die folgenden Bedingungen keine ganzrationale Funktion f gibt:
a.) Grad von f gleich 2: Nullstellen: x=2 und x=4; Maximun für x=0
b.) Grad von f gleich3: Extremwerte für x=0 und x=3; Wendestelle für x=1
c.) Grad von f gleich 4: f, gerade, Wendestelle für x=1; Maximum für x=2

Frad von f gleich 2 (oder 3; 4 ) heißt ja dann je nach der Zahl: ax²+bx+c; für 4 wären es dann: ax4+bx³+cx²+dx+e Oder ist das falsch ?
Aber ich weiß absolut nicht wieso für die Bedingungen keine ganzrationale Funktion geben soll ? Ich weiß nciht mal in welche Richtung ich da denken soll?

Wäre wirklich lieb Augenzwinkern

14.05.2008, 17:36

tigerbine

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RE: Ganzrationale Funktionen ?
Was ist denn erstmal eine ganzrationale Funktion? Augenzwinkern

Wie sieht die vom allgemeinen Grad n aus?

zu a)

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(4)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Der geübte Blick sagt, dass der Extremwert zwischen den beiden Nullstellen liegen muss. (Satz von Rolle), denn unsere Funktion kann in der Ableitung maximal eine Nullstelle haben. Augenzwinkern

14.05.2008, 17:50

Pipi

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Danke erstmal,

also von dem Satz der Rolle habe ich noch nie was gehört, aber ich werde es mir mal angucken. Danke Augenzwinkern

Also heißt, dass es bei a.) keine rationale Funktion gibt, weil f"(0) nicht null wird ? Und wieso kann unsere Funktion in der Ableitung nur zwei Nustellen haben ?

14.05.2008, 18:04

tigerbine

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Unsere Ableitung ist eine lineare Funktion. D.h. Grad 1. Allgemein gilt dass eine ganz rationale Funktion vom Grad n maximal n Nullstellen haben kann. Augenzwinkern

14.05.2008, 18:33

pipi

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Aber es ist doch eine Funktion zweiten Grades ? Deswegen 2 Nullstellen ?
Die Nullstellen haben doch nichts mit der ableitung zutun oder doch ?

14.05.2008, 18:38

tigerbine

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Langsam. f ist vom Grad 2. Hat max. 2 Nullstellen. Hier sogar genau 2. Satz von Rolle (*) sagt, dass dann die Ableitung f' auch mind. eine Nullstelle zwischen den Nullstellen von f hat.

Nun ist unsere Ableitung von der Form:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2a_2x+a_1 \end{eqnarray*}$

Diese Funktion hat maximal eine Nullstelle. Wegen (*) gibt es diese Nullstelle und sie muss im Intervall zwischen 2 und 4 liegen.

Dem Widerspricht die Forderung, dass f bei x=0 ein Maximum hat. Daher gibt es keine solche Funktion.

14.05.2008, 18:46

Pipi

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Das heißt bei der b.)

kann es max. 3 Nullstellen geben, richtig ? Somit 2 Nullstelen bei der 1. Ableitung, jedoch gibt es 2 Extremwerte + eine Wendestelle, also gibt es keine rationale Funktion. Kann man das so begründen ?

14.05.2008, 19:00

tigerbine

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Zitat:

b.) Grad von f gleich3: Extremwerte für x=0 und x=3; Wendestelle für x=1

Zitat:

kann es max. 3 Nullstellen geben, richtig ? richtig

Somit 2 Nullstelen bei der 1. Ableitung, richtig

jedoch gibt es 2 Extremwerte + eine Wendestelle, also gibt es keine rationale Funktion. Kann man das so begründen ? nein

Ein Beispiel: Grad 3, zwei Extremwerte, ein Wendepunkt

Die erste Ableitung.

Was kennzeichnet denn einen Wendepunkt?

14.05.2008, 19:12

Pipi

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Man spricht von einer Wendestelle, wenn der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder eben umgekehrt ? Und f"(x) muss null ergeben.

14.05.2008, 19:13

tigerbine

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Ein Wendepunkt ist eine Extremstelle der ersten Ableitung. Keine Nullstelle von dieser. Daher passt deine obige Argumentation nicht. Du musst da nochmal neu ansetzen. Augenzwinkern

14.05.2008, 19:44

Pipi

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Ich verstehs nicht.. unglücklich

Ein Wendepunkt ist eine Extremstelle der 1. Ableitung ? Also eine Nullstelle oder ?
Und somit eine Nullstelle zuviel ?

14.05.2008, 19:55

tigerbine

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Nein. Eine Extremstelle einer Funktion ist keine Nullstelle dieser Funktion. Da liegt dein Denkfehler.

14.05.2008, 20:09

tigerbine

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Zitat:

Grad von f gleich3: Extremwerte für x=0 und x=3; Wendestelle für x=1

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6ax+2b \end{eqnarray*}$

Obige Bedingungen bedeuten:

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(3)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1)=0 \end{eqnarray*}$

Aufgrund der beiden Extremstellen, können wir die Ableitung auch wie folgt mit Faktoren schreiben:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3a(x-0)(x-3) \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2-9ax \end{eqnarray*}$

Abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6ax-9a \end{eqnarray*}$

Damit eine Funktion vom Grad 3 vorliegt, muss a von Null verschieden sein. somit

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6a(x-\frac{9}{6})= 6a(x-1.5) \end{eqnarray*}$

Somit liegt der Wendepunkt dann nicht bei x=1.

15.05.2008, 09:23

TheWitch

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Das geht auch deutlich einfacher.

Zu a): Eine Parabel zweiten Grades ist immer achsensymmetrisch zur Senkrechten durch den Scheitel, d. h. auch die Nullstellen müssen symmetrisch um den Scheitel herum liegen. Das ist hier aber nicht der Fall - bei den gegebenen Nullstellen müsste der Scheitel (und damit ein mögliches Maximum) bei x = 3 liegen.

Zu b): Aus der Tatsache, dass die erste Ableitung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades eine Funktion zweiten Grades ist und gleichen Überlegungen wie bei a), folgt, dass der Wendepunkt einer Funktion dritten Grades Symmetriezentrum ist, d. h. die Extremwerte müssen punktsymmetrisch zum Wendepunkt liegen. In diesem Fall müsste die Wendestelle demnach bei x = 1,5 liegen und nicht bei x = 1.

Zu c): Die Überlegungen aus a) und b) lassen sich nicht übertragen auf c) - obwohl das durch die gegebenen Zahlenwerte nahe gelegt wird (x = 1 liegt in der Mitte zwischen x = 2 und der zweiten Extremstelle x = 0). Hier ist es einfacher, in die Bedingungen für Extrem- und Wendestellen (erste bzw. zweite Ableitung gleich null) jeweils die gegebenen Werte einzusetzen und das entsehende Gleichungssystem zu lösen. Dieses hat keine Lösungen außer für a = 0 - und damit wäre keine Funktion vierten Grades mehr vorhanden.

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