Epsilon-Delta-Kriterium

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Egon Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon-Delta-Kriterium
Guten Abend

Ich soll mit dem Epsilon-Delta-Kriterium nachweisen, dass die Funktion f(x):=x^2-8x+3 im Punkt a=4 stetig ist.

Dazu habe ich mir folgendes überlegt:



So weit so gut, aber wie kann ich denn jetzt weiterfahren; irgendwie muss ich doch noch das Delta ins Spiel bringen?

Danke für eure Hilfe.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon-Delta-Kriterium
Zitat:
Original von Egon




Augenzwinkern
Egon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon-Delta-Kriterium
Ups...natürlich. Der mit der 8 war peinlich. Danke.

Kann ich mir das als eine Art Faustregel merken, dass ich Delta als Wurzel von Epsilon wählen kann, wenn ich die

|f(x)-f(a)|<epsilon

auf

(irgendwas)^2 < epsilon

umformen kann? Ich finde das extrem schwierig für einen Anfänger; v.a. weil in den Kursunterlagen das passende Delta immer so selbstverständlich einfach plötzlich da ist...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir merken, dass dein Weg sehr gut war. Du fängst beim probieren genau mit der Bedingung

an und formst um, schätzt ab usw und hälst ausschau nach einer geeigneten Bedingung für .

Beim aufschreiben schreibst du dieses vorher gefundene ganz an den Anfang und alle denken du hast es von Gott erfahren wie man das am Besten wählt. Augenzwinkern
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diesen Tipp... smile So kommt es mir manchmal tatsächlich vor...

Ich habe nun versucht, das bei einer anderen Funktion anzuwenden:

für x!=5 und f(5)=0

Gefragt ist, ob die Funktion an der Stelle x=5 stetig sei.

Dann habe ich also |x-5|<delta und ich habe



Doch nun bin ich wieder am Ende meines Lateins: Wo soll ich hier ein Delta herbekommen, das passt *oder* zumindest glaubhaft darlegen können, dass es so ein Delta gar nicht geben kann.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende lieber



EDIT: Daraus kannst du den einzig möglichen Wert ablesen, mit dem man die Funktion stetig in fortsetzen kann.
 
 
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Also nicht kürzen? Weiss man das einfach aus der Erfahrung?

Es ist mir fast peinlich, aber ich kann an diesem Bruch nur ablesen, dass für x=5 entsteht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst aber für x ungleich 5 den Bruch kürzen und den Grenzwert für x gegen 5 bilden.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann ich. Das gibt dann 10/30 bzw. 1/3.

Also doch kürzen? (Sorry, wenn ich so blöd frage...)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Du mußt doch bestimmen. Da die 5 (wie du selber gemerkt hast) Nullstelle von Zähler und Nenner ist, kann man den Faktor (x-5) jeweils ausklammern und dann rauskürzen. Dann läßt sich bequem der Grenzwert bilden. Diese Methode sollte man eigentlich schon an der Schule durchexerziert haben.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir klar; mich hat der Hinweis von therisen verwirrt (habe ich ihn etwa falsch gelesen):

In meinem Posting habe ich den Bruch auf (x+5)/(x^2+5) gekürzt und er empfahl mir, besser mit (x-5)(x+5) / [(x-5)(x^2+5)] zu arbeiten.

Andererseits wäre ich nicht darauf gekommen, dass ich hier den Grenzwert bestimmen muss, weil doch die Aufgabenstellung nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gefagt hatte. Kurz: Ich bin total verwirrt, wie man merkt... unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egon
In meinem Posting habe ich den Bruch auf (x+5)/(x^2+5) gekürzt und er empfahl mir, besser mit (x-5)(x+5) / [(x-5)(x^2+5)] zu arbeiten.

Dazu kann ich dir auch nichts sagen.

Zitat:
Original von Egon
Andererseits wäre ich nicht darauf gekommen, dass ich hier den Grenzwert bestimmen muss, weil doch die Aufgabenstellung nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gefagt hatte. Kurz: Ich bin total verwirrt, wie man merkt... unglücklich

Nachdem du die Ungleichung erhalten hattest, war klar, daß du mit dem epsilon-delta-Kriterium nichts ausrichten kannst, da der Bruch für x in der Nähe von 5 bei 10/30 rumdümpelt. Also muß man erstmal schauen, wohin denn die Funktion für x gegen 5 überhaupt läuft.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Hinterher verstehe ich das jeweils schon, aber ich komme nicht von selbst einfach so darauf.

Es ergibt auch viel Sinn im Nachhinein, denn in der Aufgabe ist die Funktion mit dem Bruch für x!=5 definiert und für x:=5 ist es einmal f(5)=0 und einmal g(5)=1/3. Und nun muss man schauen, welche der beiden in x=5 stetig ist.

Da ist es natürlich schon nett, dass der Grenzwert gerade 1/3 ist....


Vielen Dank für die Hilfe & Geduld.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egon
Das ist mir klar; mich hat der Hinweis von therisen verwirrt (habe ich ihn etwa falsch gelesen):


Ja, hast du. Ich wollte dich von dem -Tripp runterbringen.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaah, Danke. Aufgrund der Aufgabenstellung war ich völlig auf das Epsilon fixiert. Ich hoffe, das wird mal noch was mit mir und der Analysis (auf Schulniveau war das nämlich nie ein Problem; so ändern sich die Zeiten).
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