Frau mit Soehnen - Paradoxon |
| 12.01.2006, 17:06 | PrototypeX29A | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Frau mit Soehnen - Paradoxon Heute habe ich mich mit einem Tutor ueber die Eindeutigkeit einer Uebungsaufgabe gestritten: http://math-www.upb.de/agpb/mif05/blatt1...sterloesung.pdf Und zwar geht es um Aufgabe 38 a) Ich bin der Ansicht, dass die Aufgabe uneindeutig ist, weil ohne bestimmte Annahmen man die Aufgabe nicht loesen kann. Das Jungen/Maedchen gleich haeufig geboren werden und dass die Wahrscheinlichkeiten unabhaengig voneinander sind, setze ich mal vorraus. Dennoch laesst sich je nach Rechnung 1/2 oder 1/3 herausbekommen (und ich bin sicher mit etwas kreativitaet noch viel mehr). Folgendes Paradoxon will ich anfuehren, um das Problem aufzuzeigen: Ich treffe eine Frau (von der ich weiss dass sie 2 Kinder hat) mit einem Sohn. Die Chance ist dass sie 2 Soehne hat [nach Musterloesung von 38a] 1:3 Jetzt frage ich die gute Frau ob es das aeltere oder das juengere Kind ist. Sagt mir die Frau es sei das juengere steigt die wahrscheinlich auf 1:2 [nach Musterloesung von 38b, denn ich habe nun exakt dieselben Informationen wie in 38b], sagt mir die Frau es ist das aeltere Kind dann habe ich einen isomorphen Fall und die Chance steigt auch auf 1:2. Durch meine Frage aendert sich als die Chance dass die Frau 2 Soehne hat von 33% auf 50%. Allein die Frage aendert als doe Wahrscheinlichkeiten?! Kann ich noch mehr Fragen stellen um die Wahrscheinlichkeiten noch mal zu aendern? Wer kennt die passende Frage um die Wahrscheinlichkeit auf 42% zu druecken? Eine aehnliche Diskussion gab es uebrigens schon mal hier: Mutter beim Elternsprechtag [gelöst] |
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| 12.01.2006, 17:25 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo PrototypeX29A, ich verstehe nicht genau, wo dein Problem liegt. Die Frage hilft dir, einen Fall (M,J) auszuschließen und somit kannst du die Wahrscheinlichkeiten neu berechnen. Vielleicht hilft dir ja der Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem ein wenig weiter. Für mich ist die Aufgabe eindeutig lösbar und die Lösung deines Professors stimmt auch. Gruß, therisen |
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| 12.01.2006, 17:41 | PrototypeX29A | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, ich kann genau so gut zeigen dass die Chance 50% ist. Wie der lange Thread aus dem Quiz-Thread z.b. zeigt. Wenn ich zum Beispiel die Frau treffe mit ihrem Sohn treffe, ist er entweder der Juengere oder der Aeltere. Ist er der juengere ist die gesuchte Chance nach Aufgabe 38 b) 50%. Ist es der aeltere laeuft die Rechnung symmetrisch und ist auch 50%. Also ist die Chance immer 50%, dass die Frau 2 Soehne hat. Gruss, Proto |
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| 12.01.2006, 18:10 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hi... also ich hab mich ehrlich gesagt bei der b) auch vertan 
. also da hätte ich wohl nicht die volle punktzahl geholt. aber nachdem ich die musterlösung gesehen habe, scheint sie mir schon korrekt zu sein.und die aufgabenstellung ist auch recht anders als der 2.te link von dir. (der übrigens recht interessant und mit viel action war
... es wurde ja immerhin einer "gemeldet" 
)gruss bil |
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| 12.01.2006, 18:10 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
es gibt inges. die geordneten Möglichkeiten: JJ JM MJ MM wenn du weißt, dass sie einen Jungen hat (aber nicht welcher), dann fällt die letzte Möglichkeit weg, von den andern 3 Möglichkeiten gibt es genau eine, bei der das andere Kind auch ein Junge ist wenn du weißt, dass der Sohn das ältere/jüngere Kind ist, dann fallen die 2 Möglichkeiten weg, bei denen M am Ende/Anfang steht, von den andern beiden Möglichkeiten gibts es dann genau eine, bei denen das andere Kind auch ein Junge ist hoffe, damit konnt ich ich dir weiterhelfen |
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| 12.01.2006, 18:22 | PrototypeX29A | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aber mein Paradoxon bleibt doch trotzdem bestehen, oder nicht? PS: @bil Ich weiss nciht so genau wo du den unterschied zu der Quizaufgabe siehst? |
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| 12.01.2006, 19:01 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
den unterschied sehe ich beim elternsprechtag. der elternsprechtag wird in den weiteren rechnung ja mit reingebracht(im zweiten link). bei deiner aufgabe kommt (für mich) nicht mehr als bedingte wahrscheinlichkeit in frage. aber bei solchen aufgaben kann man sich sehr leicht vertun. gruss bil |
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| 12.01.2006, 19:30 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Frau mit Soehnen - Paradoxon
Ja, wenn du dann noch fragst, ob sie ein Mädchen hat
Gruß, therisen |
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| 12.01.2006, 19:32 | PrototypeX29A | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was ich meine ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit durch die Frage aendert und nicht durch die Antwort. Gerade das ist ja das Paradoxe. |
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| 13.01.2006, 13:08 | PrototypeX29A | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja schon, aber ich die Frage ist welche Bedingung? P("Die Frau hat 2 Jungen" | "Die Frau hat min. 1 Jungen") = 33%, da stimme ich. Aber "Die Frau hat min. 1 Jungen" ist nicht genau die Information die gegen ist. Denn ich weiss darueber hinaus, dass Frau Meier mit einem Jungen unterwegs ist. Gehe ich davon aus, dass Frauen gelegentlich mit je einem ihrer Kinder spazieren gehen habe ich fogelden Rechnung: P("Fraue Meier hat 2 Jungen" | "Ich treffe Frau Meier mit einem Jungen") = P("Frau Meier hat 2 Jungen und ich treffe sie mit einem Jungen") : P("Ich treffe Frau Meier mit einem Jungen") Da ich Frau Meier nur halb so oft mit einem Jungen treffen wuerde, wenn sie auch eine Tochter hat, ist die Wahrscheinlichkeit in dieser Rechnung = 50%. Keine der Rechnungen ist falsch. |
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| 13.01.2006, 17:49 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
das die frau min. 1.jungen hat, davon bin ich ausgegangen. wenn man natürlich etwas anderes reininterpretiert kann sich auch die wahrscheinlichkeit ändern
...gruss bil |
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| 13.01.2006, 18:23 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
also dann möchte ich auch meinen Senf dazugeben: 1) ich kann an der Aufgabe nichts uneindeutiges erkennen. 2) Du hast völlig recht, dass du dich mit deinem Tutor über die Aufgabe gestritten hast, und auch in keinem der Beiträge hier konnte dein Paradoxon aufgelöst werden. 3) ist aber nicht wirklich paradox, weil die Lösung zu Aufgabe 38a einfach falsch ist. habt ihr nicht auch so ein Grummeln im Bauch wenn man euch ernsthaft weismachen will, die Wahrscheinlichkeit für 2 Jungen sei in dem Fall 1/3 ?? also bitte mach weiter so und glaub nicht alles was man dir erzählt ! 
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| 13.01.2006, 18:56 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
eigentlich wollte ich mich aus diesem thema raushalten. diese fragestellung mag ich allgemein nicht. da kann man soviel erklären wie man will und am ende glauben immer noch alle das gleiche wie vorher
...(zumindestens war es so als ich jemand das ziegenproblem erklärt habe). aber eine sache möchte ich noch wissen.
was ist dann die lösung ? gruss bol |
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| 13.01.2006, 19:30 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Selbstvertändlichkeit mit der in der Musterlösung der Fall (J,J) nur einfach gezählt/gewichtet wird ist meiner Meinung nach falsch. Wenn man schon davon ausgeht, dass sie 2 Söhne haben könnte, dann kann der vorgestellte Sohn sowohl der Ältere als auch der Jüngere sein - man hat also 2 günstige und 4 mögliche Fälle. Stell dir mal du müsstest die Aufgabe Schritt für Schritt simulieren. Zuerst hast du die 4 gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten (J,J), (J,M), (M,J), (M,M). Dann musst du auswählen mit welchem der beiden Kinder Frau Meier grad zum Einkaufen geht - natürlich unabhängig vom Geschlecht. Nun hast du die 8 gleichwahrscheinlichen Fälle: (J1,J2;J1), (J1,J2;J2), (M1,M2;M1), (M1,M2;M2), (J,M;J), (J,M;M), (M,J;J), (M,J;M). nun wird dir der Junge vorgestellt. Also bleiben noch 2 günstige und 4 mögliche Fälle übrig. |
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| 13.01.2006, 19:53 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
sehe ich nicht so. davon mal abgesehen interessiert mich das alter in der 38a) recht wenig. ich hab sie einfach so gelöst folgende fälle gibt es: (j,j),(m,j),(j,m),(m,m) und dann folgt über bedingte wahrscheinlichkeit 1/3. gruss bil |
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| 13.01.2006, 20:24 | Rwartungswert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich darf zu 38a kurz folgendes anmerken: Der Ereignisraum, bevor wir Frau Meier treffen, ist {(M,M), (J,J),(M,J), (J,M)} = 4 Möglichkeiten Jetzt treffen wir sie, und sie hat ihren Sohn mit. Das Treffen mit Frau Meier ist Ereignis A. Eines ihrer Kinder ist also ein J, das wissen wir nun. Damit reduziert sich der Ereignisraum auf { (J,M), (M,J), (J,J) }, somit P(A) = P { (J,M), (M,J), (J,J) } Warum? Nun, wir wissen ja nicht, ob der Junge das ältere oder jüngere Kind der beiden ist. Wir haben nun 3 Möglichkeiten, aus denen wir das "günstige Ereignis" (Frau Meier hat zwei Jungs, also das zweite Kind ist auch ein Junge) -> (J,J) herausziehen können. -> (J/J) / [(J,J) / (J,M) / M,J)] -> 1/3 Also der Trick besteht darin, den Ereignisraum zu beachten, der sich aus dem Treffen mit den Damen ergibt. Bei Frau Müller gleichwohl: Sie sagt uns, der Junge wäre ihr jüngstes Kind. Wir wissen also, dass nur folgendes passt: 2 Jungen, oder 1 Junge und ein Mädchen. Sie hat zwei Kinder, also bleibt { (M,J), (J,J)} (wenn die Bedeutung von M,J ist: Erstgeborenes Kind = Mädchen, Zweitgeb.=Junge) Die beiden anderen Möglichkeiten fallen weg: 1.) Sie hat ja einen Sohn, also gibt es (M,M) nicht. 2.) Der Junge ist der jüngere, daher gibt es diese Möglichkeit (J,M) auch nicht Damit reduziert sich der Ereignisraum durch das Ereignis A auf 2 Möglichkeiten. (M,J) und (J,J) Aus diesen picken wir nun 1 Möglichkeit (wir wollen ja (J,J) raus, Ergebnis daher 1/2. lG Rw |
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| 13.01.2006, 20:51 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@bil: es ist völlig ok wenn dich das Alter nicht interessiert, aber daraus kannst du nicht folgern, dass du die Aufgabe vereinfachen kannst.
Das ist der entscheidende Punkt "ihren Sohn" Du kannst doch nicht den Fall das sie 2 Söhne hat hier künstlich beschneiden. Zum jetzigen Zeitpunkt ist immer noch möglich, dass sie 2 Söhne hat, Sohn A und Sohn B. Und jeder der beiden (auch wenn es sich um Zwillinge handelt) könnte derjenige sein, den wir beim Einkaufen treffen ! Ein Tipp: versucht euch mal ein Computerprogramm/Algorithmus zu überlegen, mit dem ihr den Vorgang so exakt wie möglich simulieren könnt. Dann werdet ihr immer auf das Problem stossen, welches der beiden Kinder denn nun beim Einkaufen dabei ist. Eine Lösung der Aufgabe, die dieses logische Problem einfach ignoriert kann ich nicht akzeptieren. |
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| 14.01.2006, 14:57 | Rwartungswert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@ jovi: Ich darf mal den Fall der eineiigen Zwillinge mit gleichem Alter ausnehmen, wiewohl auch hier ein J,J oder M,M möglich ist. Eines der Kinder kam sicher vor dem anderen zur Welt. Die Frage lautet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Fr. Meier bzw. Fr. Müller zwei Söhne haben P(J,J)=?. Der günstige (= gesuchte) Fall ist also (J,J). Davon gibt es nur einen. Deine Idee ist, so verstehe ich, folgende Permutationen zu untersuchen: (J1 = Erstgeborener bzw. M1 = Erstgeborene, detto J2 bzw. M2 Zweitgeboren) J1, J2 / J2, J1 / M1, M2 / M2,M1 / J1,M2 / M2,J1 / M1, J2 / J2, M1 Die Antwort auf die Frage, ob sie 2 Jungs hat, wäre also J1, J2 bzw. J2, J1, was aber, aus der Fragestellung heraus, dasselbe ist. Sie hat zwei Jungs. Oder nicht. Die Anordnungen oben haben keine Einfluss auf die Antwort der Frage, denn die Antwort wäre positiv, wenn J1,J2 oder J2,J1 eintritt. Das ist aber ein Unterscheidungsmerkmal, nachdem nicht gefragt wird. Somit bleiben 3 Fälle über, aus denen ziehen wir 1 heraus, mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Damit ist 38a richtig gelöst mit 1/3. Zu 38b stellt sich die Frage, warum da plötzlich das Alter die Lösung von 1/3 auf 1/2 verändert. Nun, der Wahrscheinlichkeitsraum ist auch bei Fr. Müller derselbe: (wir erinnern uns an die Angabe des Beispiels: Müllers haben 2 Kinder, über deren Geschlecht weiss ich nichts") {(M,M), (J,J),(M,J), (J,M)} Wir berücksichtigen ja hier bereits den Altersunterschied, denn M,J bedeutet, M älter als J. Ohne dieser Annahme wäre nämlich M,J = J,M Ich denke, ich sehe da gerade, wo Dein Ergebnis (1/2) herkommen könnte: Wenn nämlich der Ereignisraum 3 Ereignisse mit M,M / J,J / M,J (mit M,J = J,M) umfasst, dann hätten wir nur noch drei Fälle. Von denen eliminiert sich einer weg, sobald wir Fr. Meier mit ihrem Kind treffen und sehen, welches Geschlecht das Kind hat. Ist es ein Junge, dann bleibt (J,J) oder (M,J) vulgo (J/M) als Möglichkeiten. Aus diesen 2 Möglichkeiten kann ich dann mit P = 1/2 sagen, dass da noch ein Junge ist. Aber hier ist eben der Ereignisraum unvollständig, denn die Elementarereignisse "Kind kommt zur Welt" sind eben J ("Junge kommt zur Welt") und M ("Mädchen..."). Das Ereignis "hat Kinder" stellt sich aus den Elementarereignissen zusammen, wobei eben J,M nicht dasselbe wie M,J ist. Sollten sich also weitere Diskussionen ergeben, dann drehen sich diese um den Ereignisraum. Eine ähnliche Situation hatte der Spieler Chevalier de Meré, der sich mit einem Würfelspiel-Problem an Pascal wandte (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Paradoxon_des_Chevalier_de_Mere). Auch hier war die irrige Annahme des Chevalier durch einen inkorrekten Ereignisraum begründet. Auch sehr zu empfehlen: Buch "Das Ziegenproblem" von Gero von Randow. Hier wird ebenso diskutiert, wie korrekte Ereignisräume oft unerwartete Ergebnisse (abseits von "Hausverstand) bringen. lG Rw |
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| 14.01.2006, 15:54 | PrototypeX29A | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn wir die Permutation so betrachten, dass Frau Meier das vordere Kind mitnimmt dann sind die Faelle nicht dieselben. Denn bei einer bedingten warcheinlichkeit P ("Frau Meier hat 2 Soehne" | " Wir treffen Frau Meier mit einem Sohn an") haben wir 4 (J1,J2 / J2,J1 / J1,M2 / J2,M1) von 8 Faellen.
Ich denke der Fehler bei der 33%-Loesung ist das "rausstreichen" der einen Moeglichkeit aus der Ereignismenge. Zuerst haben 4 moegliche gleichverteilte Ergebnisse (MM,MJ,JM und JJ), wenn wir dann aber die Bedingung verwenden und MM streichen, dann ist es zwar wahr dass noch 3 Ergebnisse uebrig sind, aber sie sind nicht mehr gleichverteilt. Diese Gleichverteilung kann man nicht einfach aus der Urspruenglichen Verteilung uebertragen. Und deswegen ist die triviale Rechnung ueber die Anzahl der Ergebnisse falsch.
Ich seh unter dem Link kein Paradoxon.
Das Ziegen Problem hat aber mit diesem nix zu tun. |
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| 14.01.2006, 15:57 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@ Rwartungswert: Nein, ich denke da hast Du mich falsch verstanden. Das Alter der beiden Kinder interssiert mich eigentlich auch nicht, es wird halt nur in der Musterlösung als Ordnungskriterium zur Unterscheidung der beiden Fälle (J,M) und (M,J) hergenommen, und so verwende ich es auch. Man kann hier natürlich auch ein anderes Ordnungskriterium hernehmen, nur das Alter scheint halt sinnvoll zu sein. Was ich meine ist folgender Punkt: Der Satz "Heute morgen traf ich Frau Meier mit einem Jungen, den sie mir als ihren Sohn vorstellte." verändert auch den Ereignisraum Der bisherige Ereignisraum {(M,M), (J,J),(M,J), (J,M)} ist nicht mehr korrekt, da unklar ist ob der Junge nun das ältere oder das jüngere Kind ist. Man erhält nun als Ereignisraum: {(M1,M2;M1), (M1,M2;M2), (J1,J2;J1), (J1,J2;J2), (M,J;M), (M,J;J), (J,M;J), (J,M;M)} wobei (J1,J2;J1) bedeuten soll "Frau Meier hat 2 Söhne, und der ältere von beiden ist beim Einkaufen dabei" und (M,J;J) bedeutet "Frau Meier hat 2 Kinder, ersgeborene Tochter und jüngeren Sohn, der beim Einkaufen dabei ist" Das sind 8 gleichwahrscheinliche Elementarereignisse , oder ? Nun fallen wegen der Information, dass ein Junge beim Einkaufen dabei ist, die 4 Ereignisse (X,Y;M) raus und es bleiben 2 günstge und 4 mögliche Ereignisse übrig. So komme ich auf das Ergebnis von 1/2 ! In der Musterlösung macht man es sich zu einfach, indem man die beiden Ereignisse (J1,J2;J1) und (J1,J2;J2) einfach zu (J,J;J) zusammenfasst, was auch nirgends logisch begründet wird. Und ich kann auch nicht erkennen warum z.B. (J1,J2;J1) nur halb so wahrscheinlich sein sollte wie (M,J;J). |
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| 14.01.2006, 16:19 | PrototypeX29A | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Frage ist: Ist die Wahrscheinlichkeit dass Frau Meier mit einer Tochter spazieren geht genau so hoch wie dass sie mit ihrem Sohn spazieren geht? Wuerd Frau Meier auf jeden Fall lieber einen Sohn mitnehmen, ist die Chance 33% Hat Frau Meiern Soehne und Toechter gleich lieb ist die Chance 50% Und wenn Frau Meier ihr Toechter bevorzugen (wuerde) ist die Chance glatt 100% wenn wir sie mit einem Sohn treffen (weil wir daraus folgern, dass sie keine Tochter hat). Diese Annahmen darueber was fuer Vorlieben Frau Meier hat sind natuerlich voellig illegal. |
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| 14.01.2006, 16:51 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich denke da hast Du Recht. In dem Fall würde tatsächlich (M,J;M) doppelt so wahrscheinlich sein, wie z.B. (J1,J2;J1), da (M,J;M) ja die Wahrscheinlichkeit von (M,J;J) quasi mitübernimmt. Da aber von solchen Vorlieben nichts in der Aufgabe steht sollte man schon annehmen, dass es gleichwahrscheinlich ist welches Kind sie mitnimmt - also unaghängig von Alter und Geschlecht. Davon bin ich jedenfalls mal ausgegangen. |
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| 14.01.2006, 16:56 | PrototypeX29A | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja das finde ich eigentlich auch plausibler, ich werde deine Argumentation mal so meinem Tutor nochmal vortragen. Proto |
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