Berührungspunkt Kreis und Parabel

12.01.2006, 20:26	neo110377	Auf diesen Beitrag antworten »
Berührungspunkt Kreis und Parabel Parabel $\begin{eqnarray} y=x^{2}+1 \end{eqnarray}$ und Kreis $\begin{eqnarray} (x-x0)^{2}+ (y-1)^{2}=1 \end{eqnarray}$ mit x0>0 sollen sich nur in Punkt P(x1;y1) berühren. Welche Koordinaten hat P? Kann mir jemand bei der Lösung helfen, habs schon mit Gleichsetzen von y und y´ versucht, hat mich aber auch nich weiter gebracht.
12.01.2006, 20:29	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
also für y in der rechten seite x^2+1 einsetzen, dann umformen. Was muss die Diskriminante sein, damit sich der Kreis und die Parabel berühren. mfG 20
12.01.2006, 21:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So einfach ist das hier nicht. Neben der von 20_Cent angegebenen Bedingung $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ (Einsetzen des $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Wertes aus der Parabelgleichung in die Kreisgleichung, nicht ausmultiplizieren!) hast du als weitere Bedingung, daß die Steigung der beiden Kurven im Berührpunkt $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ übereinstimmen müssen. Für die Parabel ist das $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray}$ und für den Kreis der negative Kehrwert der Steigung der Geraden Mittelpunkt-Berührpunkt (denn die Tangente an einen Kreis steht senkrecht auf dem zugehörigen Radius), also $\begin{eqnarray} - \frac{x-a}{y-1} \end{eqnarray}$ . Daraus folgt die Gleichung $\begin{eqnarray} \text{(II)} \ \ x-a = -2x(y-1) \end{eqnarray}$ Hier kannst du wieder $\begin{eqnarray} y = x^2+1 \end{eqnarray}$ einsetzen. Dann $\begin{eqnarray} x-a \end{eqnarray}$ in die Bedingung $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ einsetzen. Das gibt dir eine kubische Gleichung in $\begin{eqnarray} u = x^2 \end{eqnarray}$ . Deren reelle Lösung mußt du bestimmen.
12.01.2006, 21:48	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... ich dachte eigentlich, dass Kreis und Parabel nur genau keinen Schnittpunkt, zwei Schnittpunkte oder eben einen Berührpunkt haben können. Dann würde meine Version reichen. Wo ist mein Denkfehler? mfG 20
12.01.2006, 23:25	neo110377	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke erstma für die schnelle Hilfe. an Leopold: ist mit a die x-Koordinate des Kreismittelpunkts gemeint, also was bei mir x0 is?
12.01.2006, 23:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja! Sorry, daß ich das umbenannt habe.
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14.01.2006, 04:42	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Leopold, wo ist mein Denkfehler? mfG 20
14.01.2006, 12:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ihre Augen wurden gehalten, daß sie ihn nicht erkannten. (Lukas 24,16)
14.01.2006, 15:51	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank, ich war (mal wieder) blind. mfG 20

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