Warum ist Pi nicht 4? Wo liegt der Fehler?

12.01.2006, 22:23	Fassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist Pi nicht 4? Wo liegt der Fehler? Hi Leute, ich bin sicher, dass die meisten von euch dieses "Problem" kennen, ich habe aber in der Suche leider kein passendes Ergebnis gefunden. Für alle die es nicht kennen, mein Problem: Wenn ich mir einen Einheitskreis denke, hat dieser ja den Umfang von 2 Pi. Bastel ich mir darum ein Quadrat hat dieses dann die Seitenlänge von d=2r=2 und den Umfang von 8. Wenn ich jetzt von dieser Fläche eine andere Fläche abziehe, die eine Ecke auf dem Kreis liegen hat und die diagonal gegenüberliegende in einer Ecke der Grundfläche, dann ändert sich der Umfang der Fläche ja nicht. Dies kann ich nun ja solange wiederholen und immer weiter verfeinern, bis der Umfang der ehemaligen Quadrats komplett auf dem Kreis liegt. Daraus würde sich ergeben, dass 2 Pi = 8 ist. Nur das stimmt ja nicht. Irgendwo muss ja ein Fehler vorliegen, nur wo und warum? Ich hab das mal bei einem Vortrag in meiner Schulzeit gehört, aber leider nie eine Lösung dazu. Vielleicht (ich bin mir da sogar sicher) könnt ihr mir da helfen. Besten Dank im Voraus --- Edit --- Ich kann es leider nicht gut beschreiben, aber ich hoffe so ist es besser verständlich, was ich meine
12.01.2006, 22:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du auch mit einer Quadratecke machen und immer in Richtung Diagonale umklappen. Mit deiner Argumentation ist dann $\begin{eqnarray} 2=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ .
12.01.2006, 22:29	hoffie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist Pi nicht 4? Wo liegt der Fehler? ich frage mich, warum der umfang gleich bleibt, wenn man die ecken "umklappt", das stimmt doch gar nicht...oder ich habe dich falsch verstanden...
12.01.2006, 22:34	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist Pi nicht 4? Wo liegt der Fehler? Du führst hier letztendlich einen Grenzwertprozess aus. Deine Folge von "umgeklappten Umfangkurven" konvergiert gleichmäßig gegen den Kreis als Grenzfunktion. Bei gleichmäßiger Konvergenz von Funktionenfolgen übertragen sich nun einige Eigenschaften auf die Grenzfunktion (zB Stetigkeit), aber es gibt auch Eigenschaften, die sich nicht auf die Grenzfunktion übertragen. Dazu gehört die Länge der Kurven (= math. die totale Variation genannt). Deine Überlegung beweist: Die totale Variation ist keine Invariante unter gleichmäßiger Konvergenz. Grüße Abakus
12.01.2006, 22:58	Fassi	Auf diesen Beitrag antworten »
@Abakus und die anderen: Warum bleibt die Länge nicht gleich? Wenn ich doch bei einem beliebigen Rechteck (sagen wir mal 1010 Felder auf karriertem Papier) und ich "nehme" dann z.B. aus der Ecke oben rechts ein (auch rechteckiges) Feld von beliebiger Größe (sagen wir mal 23) heraus, dann kann ja jeder sehen, dass der Umfang gleich bleibt (im Notfall nachzeichnen) solange sich die maximalen Abmessungnen in Höhe und Breite nicht ändern und die Umfangsstrecke nur Knicke um 90° macht. @Arthur Dent: Hab mich da leider etwas falsch ausgedrückt. Die Fläche die das Quadrat mal war soll auch weiterhin nur rechte Winkel enthalten. Werds oben mal editieren.
12.01.2006, 23:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Länge verändert sich ja auch nicht, nachdem du nach innen klappst. Aber das heißt noch lange nicht, dass die Grenzfunktion die gleiche Länge haben muss. Gruß MSS
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12.01.2006, 23:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Fassi Ich hab dich schon richtig verstanden, aber du mich nicht. Vielleicht hilft eine Skizze: (Ok, der Plotter hier ist unzulänglich, die "steilen" Liniensegemente sollen sogar senkrecht auf den horizontalen Segmenten stehen. ) Was ich hier mit $\begin{eqnarray} n=16 \end{eqnarray}$ gezeichnet habe, musst du dir natürlich $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ vorstellen.
12.01.2006, 23:26	Fassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, jetzt kann ich es mir vorstellen, was ihr mir sagen wollt. Ich kann meinem Umfang beliebig dicht an den Kreis annähern, aber ich werde nie genau vollständig auf dem Kreis liegen, denn sonst könnte ich eine Diagonale so ausdrücken. Beim Beispiel mit der Diagonalen kann ich, wenn ich meine Teilstrecke so klein wähle, dass die Ursprungssrtecken komplett auf der Diagonalen liegen kann ich nicht davon ausgehen, dass die Länge dann noch übereinstimmt. Kann ich denn im umgekehrten Fall die Erkenntnis einfach übertragen, da dies hier ja nur einen speziellen Fall darstellt ? Oder ist es wenigstens sowas in der Art ?

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